[論文レビュー] The Complexity of Testing Properties of Simple Games

Josep Freixas, Xavier Molinero+2 more|ArXiv.org|Mar 4, 2008

Artificial Intelligence in Games参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、yes–no投票システムの形式的枠組みである単純ゲームにおける変換および性質のテストの計算複雑性を分析する。あるペアについては多項式時間で変換可能だが、他のペアでは指数時間となる明示的表現（勝利集合、最小勝利集合、敗北集合、最大敗北集合）間の変換は、単純性、重み付き性、および強さや意思決定性といった構造的性質のテストは、表現の種別によってco-NP完全または多項式時間で実行可能である。主な貢献は、複数のゲーム表現および性質にわたる包括的な複雑性分類である。

ABSTRACT

Simple games cover voting systems in which a single alternative, such as a bill or an amendment, is pitted against the status quo. A simple game or a yes-no voting system is a set of rules that specifies exactly which collections of ``yea'' votes yield passage of the issue at hand. A collection of ``yea'' voters forms a winning coalition. We are interested on performing a complexity analysis of problems on such games depending on the game representation. We consider four natural explicit representations, winning, loosing, minimal winning, and maximal loosing. We first analyze the computational complexity of obtaining a particular representation of a simple game from a different one. We show that some cases this transformation can be done in polynomial time while the others require exponential time. The second question is classifying the complexity for testing whether a game is simple or weighted. We show that for the four types of representation both problem can be solved in polynomial time. Finally, we provide results on the complexity of testing whether a simple game or a weighted game is of a special type. In this way, we analyze strongness, properness, decisiveness and homogeneity, which are desirable properties to be fulfilled for a simple game.

研究の動機と目的

• 単純ゲームをある明示的表現から別のものに変換する際の計算複雑性を分析すること。
• 特定の表現形式が与えられた場合に、単純ゲームが重み付きであるかどうかをテストする際の複雑性を分類すること。
• 単純ゲームの構造的性質（強さ、適正性、意思決定性、一様性）を検証する際の複雑性を特定すること。
• 勝利集合、最小勝利集合、敗北集合、最大敗北集合の4つの自然な表現形式を対象とした包括的な複雑性分類を提供すること。
• 従来の重み付きゲームに関する研究を拡張し、明示的表現および要約表現の両方における複雑性を分析すること。

提案手法

• 勝利集合、最小勝利集合、敗北集合、最大敗北集合の4つの明示的表現を用いて単純ゲームを表現する。
• ブール論理式を用いてゲームの族を要約的に表現し、NP完全問題からの還元を用いて複雑性を分析する。
• 単調性および充足可能性問題を還元することで、単純性および非最小性／非最大性のテストにco-NP完全性を証明する。
• 包含関係および最小性／最大性のチェックを用いて表現間の変換を分析し、一部のペアでは多項式時間、他のペアでは指数時間であることを示す。
• SATおよびその変種からの還元を用いて、要約表現における非最小または非最大集合の識別がco-NPハードであることを証明する。
• ゲームの次元およびパワーインデックスに関する既知の結果を活用し、複雑性の結果を文脈づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 勝利集合などの明示的表現から最小勝利集合などの別の表現に単純ゲームを変換する際の計算複雑性は何か？
• RQ2 4つの表現形式のいずれかで表現されたゲームが重み付きまたは単純であるかどうかを多項式時間でテストできるか？
• RQ3 与えられた表現形式のもとで、単純ゲームが強さ、適正性、意思決定性、一様性を満たすかどうかを決定する際の複雑性は何か？
• RQ4 要約されたブール論理式を用いる場合、構造的性質のテストの複雑性は、明示的なリストと比較してどのように変化するか？
• RQ5 最小勝利集合または最大敗北集合形式で与えられたゲームが意思決定的（あるいは過半数）であるかどうかを決定する問題は、co-NP完全であるとされるか？

主な発見

• 勝利集合から最小勝利集合への変換、または敗北集合から最大敗北集合への変換は、多項式時間で行える。
• 最小勝利集合から勝利集合への変換、または最大敗北集合から敗北集合への変換は、最悪の場合に指数時間が必要となる。
• 要約されたブール論理式で表現されたゲームについて、それが単純（すなわち単調）であるかどうかをテストすることは、co-NP完全である。
• 明示的表現の種別にかかわらず、ゲームが重み付きであるかどうかをテストすることは多項式時間で解ける。
• 要約表現を用いた場合、強さ、適正性、一様性、意思決定性といった性質のテストはco-NP完全である。
• ゲームが過半数（同値に、意思決定的）であるかどうかを決定する問題は、最小勝利集合または最大敗北集合形式で与えられた場合、co-NP完全であると予想されている。