[論文レビュー] The complexity of the index sets of $\aleph_0$-categorical theories and of Ehrenfeucht theories

Steffen Lempp, Theodore A. Slaman|ArXiv.org|Oct 26, 2006

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 8被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、一階論理的理論のインデックス集合の計算可能性理論的複雑性を分類し、$ℓ_0$-カテゴリー的であることの複雑性が$Π^0_3$-完全であり、Ehrenfeucht理論であることの複雑性が$Π^1_1$-完全であることを示している。さらに、連続体個のモデルを持つことは$Σ^1_1$-hardであることが示され、それにより、唯一の決定可能または計算可能モデルしか持たない理論の複雑性に影響を与える。

ABSTRACT

We classify the computability-theoretic complexity of two index sets of classes of first-order theories: We show that the property of being an $\aleph_0$-categorical theory is $Π^0_3$-complete; and the property of being an Ehrenfeucht theory $Π^1_1$-complete. We also show that the property of having continuum many models is $Σ^1_1$-hard. Finally, as a corollary, we note that the properties of having only decidable models, and of having only computable models, are both $Π^1_1$-complete.

研究の動機と目的

• 一階理論のインデックス集合の計算可能性理論的複雑性を分類すること、特にモデル数に関連するもの。
• $ℓ_0$-カテゴリー性やEhrenfeucht性といった性質の、算術的階層および解析的階層における正確な定義可能性のレベルを特定すること。
• 連続体個のモデルを持つ理論および、唯一の決定可能または計算可能モデルしか持たない理論の複雑性の下界および上界を確立すること。
• 既知の完全問題からの還元を用いて、階層内での完全性結果を証明すること。
• 唯一の決定可能モデルを持つという性質が$Π^1_1$-完全であることを示し、モデル理論的計算可能性への分析を拡張すること。

提案手法

• Ryll-Nardzewskiの定理を用いて、有限な$n$-型を介して$ℓ_0$-カテゴリー的理論を特徴づけ、性質を$Π^0_3$式に翻訳する。
• インデックス$e$から一様に計算可能な理論$T_e$を構成し、$T_e$が$ℓ_0$-カテゴリー的であることと、すべての$n$に対して$W_{f(n)}$が有限であることと同値になるようにし、$Π^0_3$-完全な述語を活用する。
• Spector-Gandyの定理を応用して、モデルのハイパーアリズム的表現が有限個存在し、それらに関して同型が存在するという性質が$Π^1_1$条件であることを示す。
• Reedの構成を用いて、計算可能な木を完全で決定可能な理論に符号化し、木の経路の性質がモデル数の性質に翻訳されることを活用する。
• 木から理論への符号化を介して、同時に$(Π^1_1, \Sigma^1_1) \leq_m (\text{Ehrenfeucht}, \text{Continuum})$となる多対一還元を確立する。
• 適切な集合内でのスコット文および同型を用いて、可算モデルの数とそのハイパーアリズム的複雑性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 算術的階層における$ℓ_0$-カテゴリー的理論のインデックス集合の正確な複雑性は何か？
• RQ2 解析的階層におけるEhrenfeucht理論のインデックス集合の複雑性は何か？
• RQ3 理論が連続体個の対ごとに同型でない可算モデルを持つという性質の複雑性はどの程度か？
• RQ4 唯一の決定可能モデルを持つという性質や、唯一の計算可能モデルを持つという性質も$Π^1_1$-完全であるか？
• RQ5 複雑性結果を保ったまま、理論の言語を固定することは可能か？

主な発見

• $ℓ_0$-カテゴリー的理論のインデックス集合は$Π^0_3$-完全である。これにより、算術的階層におけるその正確な複雑性が確立された。
• Ehrenfeucht理論のインデックス集合は$Π^1_1$-完全である。これにより、解析的階層において、この性質が可能な限り複雑であることが示された。
• 連続体個のモデルを持つという性質は$Σ^1_1$-ハードである。これは、実数上の任意の存在的性質以上に複雑であることを示唆する。
• 理論が唯一の決定可能モデルしか持たないという性質は$Π^1_1$-完全であり、同様に、唯一の計算可能モデルしか持たないという性質も$Π^1_1$-完全である。
• 木から理論$T_e$を構成する際、$T_e$がちょうど3つのモデルを持つことと木が無限の経路を持たないことは同値であり、$T_e$が連続体個のモデルを持つことと木が無限に多くの経路を持つことは同値である。
• 非木のノードの定数記号および関係記号を追加することで、言語を固定しつつも、複雑性結果を保持できる。