[論文レビュー] The Complexity Of The NP-Class

Carlos Barrón-Romero|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2010

Advanced Graph Theory Research参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本論文は、NPクラスの問題が一般に指数的複雑性を持ち、任意の大規模なインスタンスに対して最適化性の性質を有さないことを提案し、NPクラスが最悪ケースにおいて多項式時間解法を有しないことを証明する。本論文は、2次元ユークリッドTSPが多項式時間で解けることを示す多項式還元手順を導入し、P ≠ NP であることを示すことで、提示された予想を解決する。

ABSTRACT

This paper presents a novel and straight formulation, and gives a complete insight towards the understanding of the complexity of the problems of the so called NP-Class. In particular, this paper focuses in the Searching of the Optimal Geometrical Structures and the Travelling Salesman Problems. The main results are the polynomial reduction procedure and the solution to the Noted Conjecture of the NP-Class.

研究の動機と目的

• NP問題の構造的複雑性を分析することにより、P = NP であるかどうかという長年の未解決問題を解明すること。
• 特にLennard-Jonesポテンシャル問題と一般割当問題（GAP）を含む、主要なNP問題の本質的複雑性を調査すること。
• 任意の大規模なNP問題に対して、解を検証する多項式時間アルゴリズムが存在するかを特定すること。
• 問題固有の構造や性質を分析することにより、NP問題に対する効率的アルゴリズムの設計可能性を検討すること。
• 多項式還元と探索空間の構造的分析を用いて、PとNPを区別する理論的基盤を確立すること。

提案手法

• 問題制約を満たすすべての有効かつ可能な入力を定義するNP問題の研究領域を分析する。
• TSPを少ない列数の構造的行列形式に変換する多項式還元を適用し、効率的な探索を可能にする。
• GAP_n および TSP_n に対して整数計画法（IP）の定式化を用いて組合せ最適化問題をモデル化する。
• 解の検証の複雑性を分析するためにチューリングマシンの計算モデルを用いる。
• 探索空間の構造的性質を比較し、一般ケースにおいて多項式時間での解法が不可能である要因を同定する。
• 解の検証可能性と非効率性の境界を定義するため、順序付けられた行列 𝒫 を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の大規模なNP問題に対して、解を検証する多項式時間アルゴリズムが存在するか？
• RQ2 2次元ユークリッドTSPは多項式時間で解けるか？ そのような解法を可能にする構造的性質は何か？
• RQ3 クラスタ構造におけるLennard-Jonesポテンシャル問題の真の複雑性は何か？
• RQ4 なぜNP問題は、多項式時間での解法を可能にする一般の最適化性の性質を持たないのか？
• RQ5 多項式時間で解ける（例：2次元ユークリッドTSP）とそうでないNP問題との間に、根本的な構造的差異があるか？

主な発見

• NPクラスは、任意の大規模なインスタンスに対して一般の最適化性の性質を欠き、指数的複雑性を示す。
• 2次元ユークリッドTSPは多項式時間で解ける複雑性を持つが、従来は非効率的と分類されていた。
• n粒子のクラスタに対するLennard-Jones問題（LJP_n）は、縮小された格子に制限されても指数的複雑性を示す。
• n ≤ 1501 の場合に予想された最適クラスタは、従来検証されていなかったが、縮小格子上でテストされた結果、グローバル最適とされる。
• 順序付けられた行列 𝒫 の位置が、多項式時間と指数的複雑性の境界を定義し、検証可能な解の境界を示す。
• 本論文は、一般ケースにおいてP ≠ NPであることを証明することで、提示されたNPクラスの予想を解決する。ただし、自明に還元可能なケースを除く。