[論文レビュー] The Complexity of Tree Partitioning

Zhao An, Qilong Feng+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2017

Advanced Graph Theory Research参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、最大次数3の木における木分割およびバランス木分割のNP完全性を確立し、未解決の問題を解決した。また、両問題がW[1]-完全であることを証明し、解空間のコンactなσ表現を用いた動的計画法アルゴリズムを提示した。このアルゴリズムは、2^O(√n)の時間で実行され、指数時間法よりも顕著な改善をもたらす。

ABSTRACT

Given a tree $T$ on $n$ vertices, and $k, b, s_1, \ldots, s_b \in N$, the Tree Partitioning problem asks if at most $k$ edges can be removed from $T$ so that the resulting components can be grouped into $b$ groups such that the number of vertices in group $i$ is $s_i$, for $i =1, \ldots, b$. The case when $s_1=\cdots =s_b =n/b$, referred to as the Balanced Tree Partitioning problem, was shown to be NP-complete for trees of maximum degree at most 5, and the complexity of the problem for trees of maximum degree 4 and 3 was posed as an open question. The parameterized complexity of Balanced Tree Partitioning was also posed as an open question in another work. In this paper, we answer both open questions negatively. We show that Balanced Tree Partitioning (and hence, Tree Partitioning) is NP-complete for trees of maximum degree 3, thus closing the door on the complexity of Balanced Tree Partitioning, as the simple case when $T$ is a path is in P. In terms of the parameterized complexity of the problems, we show that both Balanced Tree Partitioning and Tree Partitioning are $W[1]$-complete. Finally, using a compact representation of the solution space for an instance of the problem, we present a dynamic programming algorithm for Tree Partitioning (and hence, for Balanced Tree Partitioning) that runs in subexponential-time $2^{O(\sqrt{n})}$, adding a natural problem to the list of problems that can be solved in subexponential time.

研究の動機と目的

• 最大次数3および4の木におけるバランス木分割の複雑性に関する未解決問題を解明すること。
• k（切断する辺の数）をパラメータとする木分割およびバランス木分割のパラメータ付き複雑性を同定すること。
• 指数時間法よりも優れた、2^O(√n)の部分指数時間で実行される木分割の正確なアルゴリズムを設計すること。
• 解空間のコンパクトな表現としてのσ表現を用いて、木における効率的な動的計画法を可能にする。

提案手法

• 3分割問題からの帰着を用いて、最大次数3の木におけるNP完全性を証明した。複雑なガジェットと正当性の証明を用いた。
• 各ノードが可能な状態（k, X, s）のテーブルΓ_vを保持する木分解に基づく動的計画法を採用した。ここでXはグループサイズのσ表現である。
• 子ノードとの接続の切断有無を処理するため、各ノードでΓ_i^-およびΓ_i^+のテーブルを計算し、親と子の部分木の結果を統合した。
• 与えられたσ表現XとグループサイズリストYが有効なコンポーネントのグループ化として実現可能かどうかを検証するCheck-Realizabilityサブルーチンを用いた。
• σ表現の数が2^O(√n]に有界であるという事実を活用し、グループサイズの組み合わせが多すぎても数え上げが部分指数時間で可能であることを保証した。
• 各ノードで親と子の子ノードのk, X, sの有効な組み合わせを列挙し、帰納的不変式を用いて正しさを保証した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最大次数3の木におけるバランス木分割はNP完全か？
• RQ2 k（取り除く辺の数）をパラメータとする木分割およびバランス木分割のパラメータ付き複雑性は何か？
• RQ3 木分割は、具体的には2^O(√n)時間で解けるか？
• RQ4 解空間のコンパクトな表現が、この問題における木上の効率的な動的計画法を可能にするか？
• RQ5 標準的なパラメータ化において、問題はW[1]-完全か？そしてこれは固定パラメータ可 tractability に何を意味するか？

主な発見

• バランス木分割は最大次数3の木においてNP完全である。これにより、先行研究が残した複雑性のギャップが埋められた。
• 木分割およびバランス木分割の両問題がW[1]-完全であることが判明し、パラメータ付き複雑性における未解決問題が解決された。
• b（グループ数）とk（切断辺数）を合わせたパラメータでパラメータ化しても、両問題はW[1]-困難のままである。
• 動的計画法アルゴリズムにより、木分割が2^O(√n)時間で解ける。これは部分指数時間であり、指数時間法よりも顕著な改善である。
• アルゴリズムはグループサイズ分布のσ表現を用い、状態数を2^O(√n)に制限することで、部分指数時間実行が可能になった。これは実行時間の短縮に不可欠な要因である。
• 各木ノードにおけるテーブルΓ_vに対する帰納的不変式により、アルゴリズムの正しさが保証され、すべての有効な分割が網羅的に探索された。