[論文レビュー] The compositional inverse of a class of linearized permutation polynomials over $\mathbb{F}_{2^n}$, $n$ odd

Baofeng Wu|arXiv (Cornell University)|May 7, 2013

Coding theory and cryptography参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$n$ が奇数である $\mathbb{F}_{2^n}$ 上の特定のクラスの線形化置換多項式の構成的逆元を明示的に決定する。形式 $P(x) = x + x^2 + \operatorname{tr}(x/a)$ で表され、$\operatorname{tr}(1/a) = 1$ を満たすものである。ディクソン行列とトレース記号の性質を用いて、逆元が $P^{-1}(x) = B_a(x) + \operatorname{tr}(x)$ であることを示し、ここで $B_a(x)$ は特定のインデックス集合上のトレース式のネストと積を用いて係数が表現される線形化多項式である。

ABSTRACT

In this paper, the compositional inverses of a class of linearized permutation polynomials of the form $P(x)=x+x^2+ r(\frac{x}{a})$ over the finite field $\mathbb{F}_{2^n}$ for an odd positive integer $n$ are explicitly determined.

研究の動機と目的

• 奇数 $n$ の場合に、$\mathbb{F}_{2^n}$ 上の線形化置換多項式のクラスに対して、構成的逆元の閉形式表現を明示的に導出すること。
• 特に単純な代数的形をとるが逆元が複雑である置換多項式の逆元を計算するという長年の課題に取り組むこと。
• 多項式 $P(x) = x + x^2 + \operatorname{tr}(x/a)$ の逆を、トレース記号と行列行列式恒等式を用いて体系的に表現する方法を確立すること。

提案手法

• 体の元の反復フロベニウス作用の和を簡潔に表現するための記号的表記 $c\langle i_1, \dots, i_t \rangle = \sum_{j=1}^t c^{2^{i_j}}$ を導入する。
• ディクソン行列の理論を適用し、線形化置換多項式の構成的逆元が関連行列の逆行列と関係することを示し、定理 1.1（$D_{L^{-1}} = D_L^{-1}$）を活用する。
• ラプラス展開と行列式恒等式を用いて逆多項式の係数を計算し、ディクソン行列の特定の小行列式への帰着により問題を簡略化する。
• トレース関数の再帰的分解と対称性を用いて、$a[\cdot]$ 項を含む複雑な行列式表現を簡略化する。
• 特に $i = 0, 2, \dots, n-1$ および奇数 $i$ の場合に、$B_a(x)$ の係数 $b_i$ について再帰的関係とトレースに基づく恒等式を導出する。
• トレースおよびノルムの性質を用いた係数恒等式の検証により、$P(P^{-1}(x)) \equiv x \mod (x^{2^n} - x)$ を確認することで逆元の正当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 奇数 $n$ かつ $\operatorname{tr}(1/a) = 1$ の条件下で、$\mathbb{F}_{2^n}$ 上の線形化置換多項式 $P(x) = x + x^2 + \operatorname{tr}(x/a)$ の構成的逆元をどのように明示的に表現できるか？
• RQ2 逆多項式の係数の構造は何か？ また、トレース関数と対称的インデックス集合を用いて閉形式で表現可能か？
• RQ3 多項式 $P(x)$ に関連するディクソン行列の逆行列を用いて、このような線形化置換多項式の構成的逆元の一般式を導出可能か？
• RQ4 トレース写像およびフロベニウス自己同型の対称性と代数的性質は、この文脈における行列式計算をどのように簡略化するか？

主な発見

• 多項式 $P(x) = x + x^2 + \operatorname{tr}(x/a)$ の構成的逆元は、$P^{-1}(x) = B_a(x) + \operatorname{tr}(x)$ として明示的に与えられ、ここで $B_a(x) = \sum_{i=0}^{n-1} b_i x^{2^i}$ であり、係数 $b_i$ はトレース記号とインデックス集合上の積を用いて表現される。
• 偶数 $i$ の場合、$b_0 = \frac{1}{a}\langle 2,4,6,\dots,n-1 \rangle$ であり、奇数 $i$ の場合、$b_i = \frac{1}{a}\left(1 + \frac{1}{a}\langle 1,3,\dots,i,i+1,i+3,\dots,n-1 \rangle\right)$ である。
• 逆行列の係数 $\tilde{p}_i$ はラプラス展開を用いて導出され、偶数 $i$ に対しては $\frac{1}{a}\left(1 + \frac{1}{a}\langle 1,3,\dots,i,i+1,i+3,\dots,n-1 \rangle\right)$ に等しく、奇数 $i$ の場合にも類似の形である。
• 逆行列の要素 $\tilde{p}_i$ はノルム $\mathrm{N}(a)$ と積 $a[\cdot]$ を用いて表現され、$i = n-2$ の場合に $\tilde{p}_i = \frac{1}{a}\left(1 + \frac{1}{a}\langle 1,3,\dots,n-2,n-1 \rangle\right)$ であるなどの恒等式が成り立つ。
• 最終的な逆多項式は $P(P^{-1}(x)) \equiv x \mod (x^{2^n} - x)$ を満たし、行列式およびトレースの恒等式を用いて正しさが確認された。
• 本手法はすべての奇数 $n$ に一般化可能であり、$\operatorname{tr}(1/a) = 1$ の条件下で一様な逆元の公式を提供する。