[論文レビュー] The compositional inverses of linearized permutation binomials over finite fields

Baofeng Wu|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2013

Coding theory and cryptography参考文献 1被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、有限体 $ \mathbb{F}_{q^n} $ 上の線形化置換二項式 $ L_r(x) = x^{q^r} + ax $ の合成逆関数に対する明示的公式を提示する。この公式は、問題を $ L_1(x) $ の逆関数に還元する還元技術を活用しており、これは定理1.1により扱いやすい。主な結果は、$ (-1)^{n/d} \mathrm{N}_{n:d}(a) \neq 1 $（$ d = \gcd(n,r) $）を満たす場合に、$ L_r^{-1}(x) $ がノーム写像と $ a $ のべき乗を用いて閉形式で表されることである。

ABSTRACT

Let $q$ be a prime power and $n$ and $r$ be positive integers. It is well known that the linearized binomial $L_r(x)=x^{q^r}+ax\in\mathbb{F}_{q^n}[x]$ is a permutation polynomial if and only if $(-1)^{n/d}a^{{(q^n-1)}/{(q^{d}-1)}} eq 1$ where $d=(n,r)$. In this paper, the compositional inverse of $L_r(x)$ is explicitly determined when this condition holds.

研究の動機と目的

• 線形化二項式 $ L_r(x) = x^{q^r} + ax $ が置換多項式である場合、$ \mathbb{F}_{q^n} $ 上での合成逆関数を特定すること。
• 線形化置換多項式 $ L_r(x) $ に関連する大きなディクソン行列の行列式および余因子を計算する困難を克服すること。
• 一般の場合の $ L_r(x) $ を、より単純な $ L_1(x) $ の場合に還元することで、既知の結果を用いた明示的逆関数の計算を可能にすること。
• 他のクラスの線形化置換多項式に対しても、この手法を一般化すること。
• 大きな行列の逆行列を直接計算することを避ける、構成的逆関数計算手法を提供すること。

提案手法

• $ \gcd(n,r) = d $ の条件下で、体の自己同型および同型性の性質を活用して、$ L_r(x) $ の問題を $ L_1(x) $ の場合に還元すること。
• 線形化置換多項式の合成逆関数が関連するディクソン行列の逆行列と関係することを示す定理1.1の適用。
• $ L_1(x) $ のディクソン行列の第一列の余因子を明示的に計算し、その逆行列の閉形式表現を導出すること。
• ノーム写像 $ \mathrm{N}_{n:d}(a) = a^{(q^n - 1)/(q^d - 1)} $ を用いて、置換条件および逆係数を表現すること。
• 逆多項式 $ L_r^{-1}(x) $ を、$ x^{q^{ir}} $ 項の線形結合として導出する。係数は $ (-1)^i \mathrm{N}(a) a^{-\frac{q^{i+1} - 1}{q - 1}} $ を含む。
• 基底拡張および行列の置換に関する議論を用いて、$ \gcd(n,t) = 1 $ のとき、$ \mathbb{F}_{q^n} $ 上の線形化置換多項式 $ L(x) $ を $ \mathbb{F}_{q^{nt}} $ 上の多項式に拡張する一般化を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な行列逆行列計算手法が不適切な場合、$ \mathbb{F}_{q^n} $ 上の線形化置換二項式 $ L_r(x) = x^{q^r} + ax $ の合成逆関数をどのように明示的に計算できるか？
• RQ2 $ r $ および $ n $ に依存する $ L_r(x) $ の逆関数の計算を簡略化するための構造的還元は何か？
• RQ3 $ L_r(x) $ の逆関数は $ L_1(x) $ の逆関数から導出可能か？この還元が成立する条件は何か？
• RQ4 ノーム写像 $ \mathrm{N}_{n:d}(a) $ は、逆関数の特徴づけおよび置換性の保証において果たす役割は何か？
• RQ5 二項式に用いた手法を、三項式や高次多項式など、他のクラスの線形化置換多項式へどの程度一般化できるか？

主な発見

• $ \mathbb{F}_{q^n} $ 上の線形化置換二項式 $ L_r(x) = x^{q^r} + ax $ の合成逆関数は、明示的に $ L_r^{-1}(x) = \sum_{i=0}^{n-1} c_i x^{q^{ir}} $ と表され、係数 $ c_i $ は $ a $、ノーム $ \mathrm{N}(a) $、および $ q $ のべき乗で表現される。
• $ 1 \leq i \leq n-2 $ の場合、係数 $ c_i = (-1)^i \mathrm{N}(a) a^{-\frac{q^{i+1} - 1}{q - 1}} $ であり、$ c_{n-1} = (-1)^{n-1} $ である。ここで $ \mathrm{N}(a) = a^{(q^n - 1)/(q - 1)} $ である。
• 逆関数が存在するのは、$ (-1)^{n/d} \mathrm{N}_{n:d}(a) \neq 1 $ のときであり、$ d = \gcd(n,r) $ である。これは既知の置換基準を確認するものである。
• この手法により、一般の場合の $ L_r(x) $ を $ r=1 $ の場合に還元でき、定理1.1により余因子計算によって扱いやすい逆関数が得られる。
• 一般化が確立された：$ \gcd(n,t) = 1 $ のとき、$ \mathbb{F}_{q^n} $ 上の線形化置換多項式 $ L(x) $ に対して、$ \bar{L}(x) = \sum_{i=0}^{n-1} a_{ti} x^{q^{ti}} $ は $ \mathbb{F}_{q^{nt}} $ 上の置換多項式である。
• この結果は、線形化置換多項式の逆関数がノーム写像と代数的恒等式を用いて明示的に構成可能であり、直接的な行列逆行列計算を回避できることを示している。