[論文レビュー] The Compound Class of Linear Failure Rate-Power Series Distributions: Model, Properties and Applications

Eisa Mahmoudi, Ali Akbar Jafari|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2014

Statistical Distribution Estimation and Applications参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、線形故障率分布とパワー級数分布を組み合わせることで、複雑なハザードレートの形状をモデル化できる柔軟な複合分布族、Linear Failure Rate-Power Series (LFRPS) 分布を提案する。このモデルは、増加、減少、バスタブ型、逆バスタブ型、および増加-減少-増加の故障率をサポートし、潜在変数を伴う最尤推定のためのEMアルゴリズムを用いて効率的な推定が可能であり、実データへのフィット性が従来の部分モデルや既存分布を上回ることが示された。

ABSTRACT

We introduce in this paper a new class of distributions which generalizes the linear failure rate (LFR) distribution and is obtained by compounding the LFR distribution and power series (PS) class of distributions. This new class of distributions is called the linear failure rate-power series (LFRPS) distributions and contains some new distributions such as linear failure rate geometric (LFRG) distribution, linear failure rate Poisson (LFRP) distribution, linear failure rate logarithmic (LFRL) distribution, linear failure rate binomial (LFRB) distribution and Raylight-power series (RPS) class of distributions. Some former works such as exponential-power series (EPS) class of distributions, exponential geometric (EG) distribution, exponential Poisson (EP) distribution and exponential logarithmic (EL) distribution are special cases of the new proposed model. The ability of the LFRPS class of distributions is in covering five possible hazard rate function i.e., increasing, decreasing, upside-down bathtub (unimodal), bathtub and increasing-decreasing-increasing shaped. Several properties of the LFRPS distributions such as moments, maximum likelihood estimation procedure via an EM-algorithm and inference for a large sample, are discussed in this paper. In order to show the flexibility and potentiality of the new class of distributions, the fitted results of the new class of distributions and some its submodels are compared using a real data set.

研究の動機と目的

• 線形故障率（LFR）分布とパワー級数（PS）分布を複合化することで、寿命分布の新しい柔軟なクラスを構築すること。
• 信頼性解析や生存解析でよく観察される、バスタブ型、単峰型、増加-減少-増加型などの非単調な故障率行動をモデル化できるようにすること。
• 指数-パワー級数、ワイブル-パワー級数、拡張LFRなど、既知の分布が特別な場合として含まれる統一的な枠組みを提供すること。
• 潜在変数を伴う状況下での最尤推定に適したEMアルゴリズムを用いた効率的な推定手順の開発。
• 実データへの応用と部分モデルおよび既存分布との比較を通じて、モデルの優位性を実証すること。

提案手法

• LFRPS分布は、線形故障率（LFR）分布とパワー級数（PS）分布を複合化することで構築され、部品数Nは確率質量関数 $ P(N=n) = \frac{a_n \theta^n}{C(\theta)} $ に従うPS分布に従う。
• 得られる生存関数は $ S(x) = \frac{C(\theta G(x))}{C(\theta)} $ として導出され、ここで $ G(x) = 1 - \exp(-a x - \frac{b}{2} x^2) $ はLFRの累積分布関数である。
• 最尤推定にはEMアルゴリズムが用いられ、Eステップでは潜在変数の条件付き期待値を計算し、Mステップでは $ a $, $ b $, $ \theta $ の反復的根の探索によりパラメータを更新する。
• 確率的表現 $ Y = \min(X_1, \dots, X_N) $ を用い、同一のLFR分布に従う部品を備えた並列システムをモデル化する。
• 収束性と推定精度を評価するため、モンテカルロシミュレーションによりアルゴリズムの妥当性を検証した。
• 幾何分布、ポアソン分布、対数分布、二項分布などのPS分布の特定により、LFRG、LFRP、LFRL、LFRB、およびレイリー-パワー級数（RPS）などの特別なケースを導出した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 LFRとPS分布を組み合わせた複合分布クラスは、バスタブ型や単峰型などの非単調なパターンを含む、多様なハザードレート形状をモデル化できるか？
• RQ2 実寿命データへのフィット性において、LFRPSモデルは指数-パワー級数や拡張LFR分布などの既存モデルと比較して優れているか？
• RQ3 特に収束性と精度の観点から、LFRPSモデルのパラメータ推定にEMアルゴリズムを用いる場合の性能はいかがなものか？
• RQ4 異なるパrameter設定下でのLFRPS分布の解析的性質、たとえばモーメントやハザードレートの挙動はどのようなものか？
• RQ5 LFRPSクラスは、EG、EP、EL、WGなどの既存の寿命分布を統一的かつ一般化できるか？その条件は何か？

主な発見

• LFRPSクラスは、増加、減少、逆バスタブ型（単峰型）、バスタブ型、増加-減少-増加型の5種類の異なるハザードレート形状をサポートしており、信頼性および生存解析における高い柔軟性を有する。
• EMアルゴリズムにより、安定的かつ収束性のあるパラメータ推定が保証され、各反復における $ a $, $ b $, $ \theta $ のスコア方程式の解が一意であることを理論的に証明した。
• LFRPSモデルは、指数-パワー級数（EPS）、拡張LFR（ELF）、レイリー-パワー級数（RPS）などの既知の分布を特別な場合として含むため、一般性が裏付けられた。
• シミュレーション研究により、EMアルゴリズムの有効性が確認され、複数のシナリオにおいて精度高く一貫したパラメータ回復が達成された。
• 実データへの応用において、LFRPSモデルおよびその部分モデル（例：LFRG、LFRP）は、AIC、BIC、およびコルモゴロフ-スミルノフ検定統計量の観点から、指数分布、ワイブル分布、LFR分布といった古典的モデルを上回るフィット性を示した。
• 特に生物学的および産業的システムでよく見られる非単調な故障率を捉える能力に優れ、実データにおいて強い経験的性能を示した。