[論文レビュー] The computation of disconnected bifurcation diagrams

Patrick E. Farrell, Casper H. L. Beentjes+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2016

Matrix Theory and Algorithms参考文献 23被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、既知の解を除くことで解法を変更するデフレーション技術を用いる、非連結な分岐図を計算する新規アルゴリズム「デフレート・コンティニュエーション」を提案する。この手法により、分岐点検出や高価な固有値系の計算に依存せずに、ニュートン法が複数の分岐を発見可能となる。標準的なスイッチング・コンティニュエーションでは見逃される、特異的（偶数重複度を伴う）分岐からの分岐図をも正確に再構成でき、良好な preconditioner が利用可能な場合、大規模なPDE離散化に対しても安定して収束する。

ABSTRACT

Arclength continuation and branch switching are enormously successful algorithms for the computation of bifurcation diagrams. Nevertheless, their combination suffers from three significant disadvantages. The first is that they attempt to compute only the part of the diagram that is continuously connected to the initial data; disconnected branches are overlooked. The second is that the subproblems required (typically determinant calculation and nullspace construction) are expensive and hard to scale to very large discretizations. The third is that they can miss connected branches associated with nonsimple bifurcations, such as when an eigenvalue of even multiplicity crosses the origin. Without expert knowledge or lucky guesses, these techniques alone can paint an incomplete picture of the dynamics of a system. In this paper we propose a new algorithm for computing bifurcation diagrams, called deflated continuation, that is capable of overcoming all three of these disadvantages. The algorithm combines classical continuation with a deflation technique that elegantly eliminates known branches from consideration, allowing the discovery of disconnected branches with Newton's method. Deflated continuation does not rely on any device for detecting bifurcations and does not involve computing eigendecompositions; all subproblems required in deflated continuation can be solved efficiently if a good preconditioner is available for the underlying nonlinear problem. We prove sufficient conditions for the convergence of Newton's method to multiple solutions from the same initial guess, providing insight into which unknown branches will be discovered. We illustrate the success of the method on several examples where standard techniques fail.

研究の動機と目的

• 標準的な弧長コンティニュエーションおよび分岐スイッチングが、非連結または特異的分岐分岐を発見できない問題に対処すること。
• ヤコビ行列の行列式や核空間を計算するなど、高価な分岐点検出を回避すること。
• 偶数重複度固有値交差を伴う分岐図を含む、完全な分岐図をスケーラブルに計算する手法を開発すること。
• デフレーションを用いたニュートン法により、1つの初期推定値から複数の解に収束可能にする仕組みを構築すること。
• 大規模PDE分岐解析に適した、preconditioner と互換性を持つ堅牢なフレームワークを提供すること。

提案手法

• デフレート・コンティニュエーションは、弧長コンティニュエーションと、既知の解を除外するデフレーション技術を組み合わせたものである。
• 分岐上のあるパラメータ値ごとに、アルゴリズムはニュートン系にデフレーションを適用し、既に発見済みの解への収束を防ぐ。
• デフレーションは、既知の解に近い点への収束をペナルティ化する有理関数補正項をニュートン反復に組み込むことで実装される。
• この手法は、拡張系や固有値分解を避けて、元の非線形系とそのデフレート版を解くことのみに依存する。
• 複数解への収束は、デフレーション下でのニュートン法の挙動に基づく十分条件を用いて解析される。
• アルゴリズムは主分岐に沿って繰り返し適用され、固定パラメータ値で新たな非連結分岐を発見するためのデフレーションステップが実行される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分岐点検出に依存せずに、非連結分岐分岐を発見できる継続法は存在するか？
• RQ2 既知の解が存在する状況で、ニュートン法をどのように変更すれば、同じ初期推定値から複数の解に収束できるか？
• RQ3 分岐問題におけるデフレーション下でのニュートン法の多解収束の十分条件は何か？
• RQ4 偶数重複度固有値交差のためスイッチング・コンティニュエーションが見逃す分岐を、デフレート・コンティニュエーションは回復できるか？
• RQ5 効率的なpreconditioningを用いた大規模PDE離散化に、デフレート・コンティニュエーションはスケーラブルか？

主な発見

• デフレート・コンティニュエーションは、特異的固有値のためスイッチング・コンティニュエーションが見逃した分岐を含め、ミッテルマン問題の全分岐図を正確に再構成できた。
• 図4.6の青い四角形分岐（λ ≈ 0.2724で二重ピッチfork分岐）は、スイッチング・コンティニュエーションが偶数重複度のため失敗するが、デフレート・コンティニュエーションにより発見された。
• ヤコビ行列の行列式や核空間を計算する必要がなく、スイッチング・コンティニュエーションの計算コストと失敗モードを回避した。
• 1600要素の有限要素離散化において、固定されたニュートン収束許容誤差と102反復で、アルゴリズムは安定して収束した。
• この手法は、接続された分岐図と非連結分岐図の両方に対して有効であり、対称性に起因する特異的退化のためスイッチング・コンティニュエーションが失敗する状況でも有効である。
• スケーラブルなpreconditionerを備えた場合、デフレート・コンティニュエーションは、スーパーコンピュータ上の大規模PDEに適しており、元のおよびデフレート・ニュートン系の解法のみを必要とする。