[論文レビュー] The computation of Kostka Numbers and Littlewood-Richardson Coefficients is #P-complete

Hariharan Narayanan|ArXiv.org|Jan 12, 2005

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、Kostka係数とLittlewood-Richardson係数の計算が#P完全であることを証明しており、#P ⊆ P でない限り、これらの問題に対して多項式時間アルゴリズムが存在しないことを確立している。証明は、Knuthの対応を介して2×k分割表の数え上げという#P完全問題をKostka係数の計算に還元し、その後、テーブルックスの双対写像を用いてKostka係数をLittlewood-Richardson係数に還元する。

ABSTRACT

Kostka numbers and Littlewood-Richardson coefficients play an essential role in the representation theory of the symmetric groups and the special linear groups. There has been a significant amount of interest in their computation. The issue of their computational complexity has been a question of folklore, but was asked explicitly by E. Rassart. We prove that the computation of either quantity is #P-complete. The reduction to computing Kostka numbers, is from the #P-complete problem of counting the number of 2 x k contingency tables having given row and column sums. The main ingredient in this reduction is a correspondence discovered by D. E. Knuth. The reduction to the problem of computing Littlewood-Richardson coefficients is from that of computing Kostka numbers.

研究の動機と目的

• Kostka係数とLittlewood-Richardson係数の計算複雑性に関する長年の未解決問題を解消すること。
• これらの組合せ的不変量の計算が#P完全であることを示し、P = NP でない限り、効率的な正確なアルゴリズムが存在しないことを示すこと。
• Knuthの対応を用いて、与えられた行和と列和を持つ2×k分割表の数え上げという#P完全問題からKostka係数への形式的還元を提供すること。
• テーブルックスとLRスケアテーブルックスの間の双対写像を介して、Kostka係数からLittlewood-Richardson係数への還元を拡張すること。
• 表現論と代数的組合せ論におけるこれらの係数の複雑性状態を明確にすること。

提案手法

• 与えられた行和と列和を持つ2×k分割表の数え上げという#P完全問題から、Kostka係数の計算への還元。
• 分割表と特定の内容を持つペアのテーブルックスの間のKnuthの対応の適用。
• 形状λで内容μを持つテーブルックスと、形状λ*αで内容νを持つLRスケアテーブルックスの間の双対写像の構築。ここでαは特定の分割である。
• このようなLRスケアテーブルックスの数がLittlewood-Richardson係数c^ν_{λα}に等しいという事実の使用。
• 還元が入力サイズに関して多項式時間で実行され、数え上げを保存することの証明。
• 推移的還元を通じて、Kostka係数とLittlewood-Richardson係数の両方が#P完全であることを確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kostka係数K_λμの計算は#P完全か？
• RQ2 Littlewood-Richardson係数c^ν_{λα}の計算は、2行の形状のような制限付きの場合でも#P完全か？
• RQ3 2×k分割表の数え上げ問題を、Kostka係数の計算に多項式時間で還元できるか？
• RQ4 内容と形状を保存するテーブルックスとLRスケアテーブルックスの間の多項式時間双対写像が存在するか？
• RQ5 これらの係数の#P完全性は、完全多項式確率的近似スキーム（FPRAS）の存在を排除するのか？

主な発見

• Kostka係数K_λμの計算は、2×k分割表の数え上げへの多項式時間還元によって#P完全であることが示された。
• Littlewood-Richardson係数c^ν_{λα}の計算は、λが2行しか持たない場合ですら#P完全である。
• 形状λで内容μを持つテーブルックスと、形状λ*αで内容νを持つLRスケアテーブルックスの間の双対写像が存在する。ここでαはℓ行に対して(1,2,…,ℓ)という分割である。
• この双対写像により、ν = μ + α のときK_λμ = c^ν_{λα} が成り立つことが証明され、Kostka係数からLittlewood-Richardson係数への還元が確立された。
• これらの還元は多項式時間で計算可能であり、数え上げを保存しており、両問題の#P完全性を保証している。
• 結果として、これらの係数に対しては完全多項式確率的近似スキーム（FPRAS）は知られていないが、その存在は予想されている。