[論文レビュー] The Computational Complexity of Integer Programming with Alternations

Danny Nguyen, Igor Pak|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 7被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、変数の数が固定されていても、3つの交互に現れる量化子（∃x∀y∃z）を含む整数計画法がNP完全であることを確立し、長年の未解決問題を解決した。著者らは、NP完全であるGood Simultaneous Approximation（GSA）問題への還元によりこれを証明し、さらに3次元多面体同士の差集合（Q\P）の整数点の射影における数え上げが#P完全であることを示した。これは、BarvinokとWoodsによる凸集合の射影に関しては多項式時間で解けるという結果とは対照的である。

ABSTRACT

We prove that integer programming with three alternating quantifiers is NP-complete, even for a fixed number of variables. This complements earlier results by Lenstra and Kannan, which together say that integer programming with at most two alternating quantifiers can be done in polynomial time for a fixed number of variables. As a byproduct of the proof, we show that for two polytopes P, Q in R^4, counting the projection of integer points in Q\P is #P-complete. This contrasts the 2003 result by Barvinok and Woods, which allows counting in polynomial time the projection of integer points in P and Q separately.

研究の動機と目的

• 1992年にカナンンが提起した、3つの交互に現れる量化子を含む整数計画法が固定次元で多項式時間で決定可能かどうかという問いに応えること。
• 固定次元における3交替量化子を含む整数計画法の計算量的複雑性を確立すること。
• 非凸集合の射影における整数点の数え上げの複雑性を分析すること、特に3次元多面体Q\Pにおけるもの。
• 凸多面体の射影（Barvinok-Woods）の取り扱いやすさと、それらの補集合の射影の取り扱いにくさを対比すること。

提案手法

• NP完全であるGood Simultaneous Approximation（GSA）問題への還元により、3交替量化子を含む整数計画法のNP完全性を証明する。
• フィボナッチ数に基づく幾何的構成を用いて、数論的制約を多面体系に符号化する。
• Doignon–Bell–Scarfの定理を用いて、多くの不等式を含む系を2量化子の場合に有限個の部分問題に還元する。
• 2量化子の場合には部分問題の論理積が全称量化子と可換であるが、3量化子の場合にはその可換性が成立せず、還元が破綻することを証明する。
• Q\Pが困難な数え上げ問題を符号化する3次元空間R^3における多面体の構成。
• 鳩の巣原理と凸位置の議論を用いて、射影複雑度結果における次元境界のタイトさを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定次元における3交替量化子を含む整数計画法は多項式時間で決定可能か？
• RQ2 2つの3次元多面体QとPの差集合Q\Pの垂直射影における整数点の数え上げは多項式時間で可能か？
• RQ3 Presburger論理式における論理和の存在が、純粋な不等式系に比べて整数計画法において計算的利点をもたらすか？
• RQ4 固定次元において、集合の補集合による射影の複雑度は保存されるか？
• RQ5 短い生成関数は、Q\Pのような非凸集合の射影を効率的に表現できるか？

主な発見

• 3交替量化子（∃x∀y∃z）を含む整数計画法は、変数の数が固定されていてもNP完全である。
• 3次元多面体QとPについて、Q\Pの垂直射影における整数点の数え上げは#P完全である。
• Pが区間でQが長方形であっても、NP完全性は成立し、低次元設定でも困難さが保たれる。
• 不等式の数が無制限であっても、変数の数が固定されていれば、問題はNP完全のままである。
• 凸多面体PとQの補集合Q\Pは、困難な数え上げ問題を符号化でき、PとQが凸であってもその射影は計算的に取り扱いにくくなる。
• この結果により、BarvinokとWoodsによる凸多面体の射影の多項式時間アルゴリズムを、その補集合へは拡張できないことが示された。