[論文レビュー] The computational complexity of Minesweeper

Michiel de Bondt|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2012

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、すべての mines を最大確率で特定することを目的とした場合、Minesweeper が PP-ハード であり、成功確率が無限小に近い場合、PSPACE-完全 であることを確立している。著者らは、正方形、六角形、三角形のグリッド上で、独自のワイヤー、ゲート、クロスオーバー部品を用いてブール回路をシミュレートする Minesweeper ボードを構築し、確率的および決定的回路符号化を用いて計算複雑性の問題を Minesweeper のプレイに還元した。

ABSTRACT

We show that the Minesweeper game is PP-hard, when the object is to locate all mines with the highest probability. When the probability of locating all mines may be infinitesimal, the Minesweeper game is even PSPACE-complete. In our construction, the player can reveal a boolean circuit in polynomial time, after guessing an initial square with no surrounding mines, a guess that has 99 percent probability of success. Subsequently, the mines must be located with a maximum probability of success. Furthermore, we show that determining the solvability of a partially uncovered Minesweeper board is NP-complete with hexagonal and triangular grids as well as a square grid, extending a similar result for square grids only by R. Kaye. Actually finding the mines with a maximum probability of success is again PP-hard or PSPACE-complete respectively. Our constructions are in such a way that the number of mines can be computed in polynomial time and hence a possible mine counter does not provide additional information. The results are obtained by replacing the dyadic gates in [3] by two primitives which makes life more easy in this context.

研究の動機と目的

• すべての mines を特定する確率を最大にするという目的における Minesweeper の計算複雑性を特定すること。
• リチャード・ケイズの Minesweeper の解法に関する NP-完全性結果を、非正方形グリッド（六角形および三角形）に拡張すること。
• 成功確率が無限小に近い条件下で Minesweeper が PSPACE-完全 であることを示すこと。
• 確率的および決定的部品を備えたブール回路をシミュレートする Minesweeper ボードを構築し、既知の難問への還元を可能とすること。

提案手法

• Minesweeper グリッド上に、2つの補完的セル集合のうち一方にのみ mines が存在するように配置することで、ブール値（0 または 1）を伝送するワイヤー機構を構築する。
• 曲げ、信号の複製、位相シフト、逆転のためのカスタム論理部品（カーブ、スプリッター、フェーズシフター、インバーター）を設計し、正方形、六角形、三角形グリッドに適応させる。
• 2 を法とするスプリッターとアダッパーを用いたクロスオーバー機構を開発し、干渉を回避してワイヤーを交差可能にし、回路構築に不可欠な要素とする。
• プレイヤーが初期値（例：s2=1 または s3=1）を推測することで成功確率を最大化する確率的還元フレームワークを導入し、量子化ブール論理式をシミュレートする。
• 逆スプリッターを用いて、s2 または s3 が既知である場合にのみ変数 zij を露呈させ、回路状態に応じた条件付き露呈を可能にする。
• QBF および弱非交互 SSAT を Minesweeper に還元し、ブール論理式の最大充足確率を mines の特定成功確率に符号化することで、確率的回路シミュレーションによる PSPACE-完全性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての mines を特定する確率を最大にすることを目的とした場合、Minesweeper は PP-ハード か？
• RQ2 すべての mines を正しく特定する確率が無限小に近い場合、Minesweeper は PSPACE-完全 か？
• RQ3 非正方形の正則グリッド（六角形および三角形）上の Minesweeper ボードは、ブール回路をシミュレートでき、したがって解法において NP-完全 か？
• RQ4 勝利確率がブール論理式の最大充足確率に依存する Minesweeper ボードを構築できるか？
• RQ5 mine カウンターの存在が追加の計算能力を提供するか、それとも mines の総数を多項式時間で計算可能か？

主な発見

• すべての mines を特定する確率を最大にすることを目的とした場合、Minesweeper は PP-ハード である。この場合、確率が無限小に近い場合でも同様に成り立つ。
• 同じ条件下で Minesweeper は PSPACE-完全 であり、成功確率を 2−e(1 − 2−m)（e ≥ 1）にまで低下させられる。e が増加するにつれてこの確率は無視できるほど小さくなる。
• 構築手法により、mines の総数は多項式時間で計算可能であるため、mine カウンターは追加情報を提供しない。
• s3 = 1 が正しく推測された場合、勝利確率は 2−e である。s2 = 1 が推測された場合、勝利確率は 2−e(1/2 + 1/2 × maxϑ Pr[f] = ϑ) である。
• この手法により、QBF および弱非交互 SSAT が Minesweeper に還元され、確率的回路シミュレーションによる PSPACE-完全性が証明された。
• 著者らは、正方形、六角形、三角形グリッド用に、機能的な回路部品（ワイヤー、スプリッター、インバーター、クロスオーバー）を構築し、ケイズの元々の NP-完全性結果を3つの正則タイル化タイプにまで拡張した。