[論文レビュー] The Computational Complexity of the Frobenius Problem

Shunichi Matsubara|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2016

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 28被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、カープ還元のもとで、Frobenius問題の意思決定版の計算量的複雑性を確立し、それが $Σ_2^P$-完全であることを証明している。証明は2つのカープ還元を含む：$\Pi_2^P$-完全な3次元マッチングの変種から、$\Pi_2^P$-完全な整数ナップサック問題の変種への還元、そしてその後、Frobenius意思決定問題の補集合への還元であり、これにより、問題の複雑性に対する最初の非自明な上界と下界が確立された。

ABSTRACT

In this paper, as a main theorem, we prove that the decision version of the Frobenius problem is Sigma_2^P-complete under Karp reductions.Given a finite set A of coprime positive integers, we call the greatest integer that cannot be represented as a nonnegative integer combination of A the Frobenius number, and we denote it as g(A). We call a problem of finding g(A) for a given A the Frobenius problem; moreover, we call a problem of determining whether g(A) >= k for a given pair (A, k) the decision version of the Frobenius problem, where A is a finite set of coprime positive integers and k is a positive integer. For the proof, we construct two Karp reductions. First, we reduce a 2-alternating version of the 3-dimensional matching problem, which is known to be Pi_2^P-complete, to a 2-alternating version of the integer knapsack problem. Then, we reduce the variant of the integer knapsack problem to the complement of the decision version of the Frobenius problem. As a corollary, we obtain the main theorem.

研究の動機と目的

• 集合 $A$ の互いに素な整数のFrobenius数 $g(A)$ が与えられた $k$ 以上であるかどうかを問う、Frobenius問題の意思決定版の計算量的複雑性を特定すること。
• Ramírez-Alfonsín が提起した未解決の問題、すなわち、Frobenius問題がカープ還元のもとで $Σ_2^P$-完全であるかどうかを解明すること。
• Frobenius問題の関数版 $F$ Frobenius に対する最初の非自明な上界と下界を、多項式階層との相対的な複雑性を確立することで提示すること。
• 特に2段階の論理的変動（存在と全称の交互）を示す、既知の $\Pi_2^P$-完全問題からの還元を通じて、問題の構造を分析すること。

提案手法

• 既知の $\Pi_2^P$-完全問題である $\Pi_2$3D Matching から、$\Pi_2^P$-完全な整数ナップサック問題の変種である $\Pi_2$Assoc Integer Knapsack へのカープ還元を構築する。
• $\Pi_2$Assoc Integer Knapsack を、Frobenius問題に関連する存在と全称の論理的交互を捉える2段階の論理的変動を持つ整数ナップサック問題の変種として定義する。
• $\Pi_2$Assoc Integer Knapsack から、Frobenius意思決定問題の補集合 $\text{coFrobenius}$ へのカープ還元を確立し、$\text{coFrobenius}$ が $\Pi_2^P$-ハードであることを示す。
• $\text{coFrobenius}$ が $\Pi_2^P$ に属することを証明することで、$\text{coFrobenius} \in \Pi_2^P$ であり、$\text{coFrobenius}$ が $\Pi_2^P$-完全であることを示す。
• 双対性を用いて、$\text{Frobenius} = \neg \text{coFrobenius}$ であることから、Frobenius意思決定問題が $\Sigma_2^P$-完全であることを導出し、関数版 $F$ Frobenius の複雑性を束縛する。
• Frobenius問題が擬似多項式時間アルゴリズムを備えていることを示すことで、アルゴリズム的含意を分析し、問題が弱い意味で $\Sigma_2^P$-ハードであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Frobenius問題の意思決定版は、カープ還元のもとで $\Sigma_2^P$-完全であるか？
• RQ2 Frobenius問題は、$\Pi_2$3D Matching や $\Pi_2$Assoc Integer Knapsack のような既知の $\Pi_2^P$-完全問題へ還元可能か、またはそれらから還元可能か？
• RQ3 意思決定版の複雑性が分かっている状況下で、Frobenius問題の関数版 $F$ Frobenius の最もタイトな複雑性クラスは何か？
• RQ4 Frobenius問題に擬似多項式時間アルゴリズムが存在することは、それが強く $\Sigma_2^P$-ハードでないことを示唆するか？
• RQ5 Frobenius問題は、$\mathsf{NP} = \Sigma_2^P$ のような計算複雑性理論における主要な未解決問題を解消する候補として機能できるか？

主な発見

• Frobenius問題の意思決定版である Frobenius は、カープ還元のもとで $\Sigma_2^P$-完全であることが証明され、Ramírez-Alfonsín が提起した未解決問題が解決された。
• 補集合問題 $\text{coFrobenius}$ は、新たに定義された整数ナップサック問題の2段階論理的変種 $\Pi_2$Assoc Integer Knapsack からのカープ還元によって $\Pi_2^P$-完全であることが示された。
• Frobenius問題の関数版 $F$ Frobenius は、入力集合 $A$ から導かれる重み付き有向グラフ上の最短経路計算に基づく擬似多項式時間アルゴリズムにより、弱い意味で $\Sigma_2^P$-ハードであることが示された。
• 問題は $\mathsf{D}_2^P$ に属することが示され、Exact Frobenius が $\mathsf{D}_2^P$-完全である可能性があると仮説を立てたが、これは未解決のままである。
• 擬似多項式時間アルゴリズムの存在は、問題が強く $\Sigma_2^P$-ハードでないことを示唆しており、近似スキームの可能性を示唆しているが、現在では FPTAS は知られていない。
• この結果により、$F$ Frobenius に対する最初の非自明な上界が得られ、$\mathsf{F}\Delta_3^P$ の中に位置づけられ、近似と構造的複雑性に関する今後の研究の道筋が開かれた。