[論文レビュー] The Computational Complexity of the Traveling Salesman Problem

Craig Alan Feinstein|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2006

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、TSPの任意の決定的かつ正確なアルゴリズムの最悪ケース実行時間に、Θ(2^n)の下界を確立することで、古典的コンピュータ上でTSPが多項式時間で解けないことを証明している。TSPの部分問題を再帰的動的計画法で定式化し、すべての2^n個の都市の部分集合を評価する必要があることを示しており、より速い正確な解法が存在しないことを確認している。

ABSTRACT

In this note, we show that the Traveling Salesman Problem cannot be solved in polynomial-time on a classical computer.

研究の動機と目的

• 決定的かつ正確なアルゴリズムを用いたTSPの解法における時間計算量の理論的下界を確立すること。
• 部分問題の再帰的構造を分析することで、古典的アルゴリズムがTSPを多項式時間で解けないことを示すこと。
• 1962年に発表された、Θ*(2^n)の時間計算量を持つTSPの最良-knownアルゴリズムが、決定的かつ正確な計算において漸近的に最適であることを確認すること。
• 状態関数Δ(S,i)を用いてTSPを動的計画法の問題として形式化すること。ここでΔ(S,i)は、集合Sに属するすべての都市を訪問し、都市iで終わる最短経路を表す。
• Δ(S,i)の再帰的計算は単純化できず、すべての2^n個の都市の部分集合の評価が不可避であることを示すこと。

提案手法

• Δ(S,i)を、都市1から出発し、集合S⊆{2,…,n}に属するすべての都市を訪問して都市iで終わる最小距離とする。
• 再帰的関係式Δ(S,i) = min{Δ(S−{i},j) + δ(j,i)}（j ∈ S−{i}）を用い、初期条件Δ({i},i) = δ(1,i)とする。
• Δ(S,i)の再帰的式は単純化できず、{2,…,n}の空でないすべての部分集合Sについての計算が必要であることを示す。
• Δ({2,…,n},n)を計算するには、Θ(2^n)個の異なる部分集合と都市についてΔ(S,i)を評価する必要があり、これによりΘ(2^n)の下界が得られる。
• 得られた下界を、1962年に発表された既知のアルゴリズム（Held-Karp）と比較し、漸近的最適性を確認する。
• δ(i,j)の対称性と正値性、および正確な解の必要性を根拠に、より速い決定的アルゴリズムが存在しないことを主張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 TSPは古典的コンピュータ上で多項式時間で解けるか？
• RQ2 任意の決定的かつ正確なアルゴリズムがTSPを解くために必要な最小の最悪ケース時間計算量は何か？
• RQ3 1962年に発表されたHeld-Karpアルゴリズム（Θ*(2^n)の時間計算量）は、正確なTSP解法において漸近的に最適か？
• RQ4 TSP部分問題Δ(S,i)の再帰的定式化は、Θ(2^n)未満の時間計算量にまで簡略化可能か？
• RQ5 TSP部分問題空間の構造自体が、正確に解くために指数的時間が必要であると inherently であるか？

主な発見

• TSPは古典的コンピュータ上で多項式時間で解くことはできない。
• TSPを解く任意の決定的かつ正確なアルゴリズムは、最悪ケースでΩ(2^n)の時間を要する。
• TSP部分問題Δ(S,i)の再帰的動的計画法定式化は単純化できず、Θ(2^n)個すべての部分集合の評価が不可避である。
• 1962年に発表された、最も速い決定的かつ正確なTSPアルゴリズムは、時間計算量がΘ*(2^n)であり、導出された下界と一致する。
• 都市の部分集合すべてを計算する必要があるという問題の本質的構造が、根本的な指数的下界を確立している。
• この結果により、決定的古典的計算の下でTSPがPに属さないことが確認され、NP困難性が強化される。