[論文レビュー] The computational landscape of permutation patterns

Marie-Louise Bruner, Martin Lackner|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2013

Algorithms and Data Compression参考文献 31被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、独立集合問題をPPMに還元することで、置換パターンマッチング（PPM）の計算複雑性を確立し、PPMがNP完全であることを証明している。kクリークの特定は、テキスト置換へのパターンおよびその部分パターンの同時マッチングに対応しており、組合せパターンマッチングを通じてNP問題の完全な複雑性を捉えていることが示された。

ABSTRACT

In the last years, different types of patterns in permutations have been studied: vincular, bivincular and mesh patterns, just to name a few. Every type of permutation pattern naturally defines a corresponding computational problem: Given a pattern P and a permutation T (the text), is P contained in T? In this paper we draw a map of the computational landscape of permutation pattern matching with different types of patterns. We provide a classical complexity analysis and investigate the impact of the pattern length on the computational hardness. Furthermore, we highlight several directions in which the study of computational aspects of permutation patterns could evolve.

研究の動機と目的

• 置換パターンマッチング（PPM）問題の計算複雑性を特定すること。
• 既知のNP完全問題をPPMに還元することで、PPMがNP完全であるかどうかを調査すること。
• グラフのクリークと置換における同時パターンマッチングの間の対応関係を確立すること。
• パターンおよび部分パターンマッチングを用いて、独立集合問題からPPMへの還元を形式化すること。
• 組合せ符号化を通じて、PPMを解くことがNP完全問題を解くのと同程度に難しいことを示すこと。

提案手法

• グラフの頂点と辺を置換に符号化することで、独立集合問題のインスタンスをPPMインスタンスに還元する。
• 頂点と辺をそれぞれパターンP′およびその部分パターン¯Piで表す。
• テキスト置換T′へのP′のマッチングを通じて、k個の頂点を選択する単調写像μ: [k] → [l]を定義する。
• 各¯PiがT′にマッチング可能かどうかを確認することで、選択された頂点間のすべての辺がGに存在するかを検証する。
• マッチングされた要素が元のグラフの頂点と辺に対応する図的表現を用いる。
• P′およびすべての¯PiがT′に同時にマッチング可能であることは、Gにkクリークが存在するための必要十分条件である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 置換パターンマッチング（PPM）問題はNP完全か？
• RQ2 独立集合問題を多項式時間でPPMに還元できるか？
• RQ3 グラフのクリークと置換における同時パターンマッチングの関係は何か？
• RQ4 P′およびすべての¯PiがT′に有効にマッチング可能である場合、元のグラフにkクリークが存在するか？
• RQ5 グラフのすべてのkクリークを、置換パターンマッチングインスタンスにおける同時マッチングとして符号化できるか？

主な発見

• 独立集合問題からの多項式時間還元により、置換パターンマッチング（PPM）問題がNP完全であることが示された。
• グラフGにkクリークが存在するための必要十分条件は、パターンP′がテキストT′に、かつすべての部分パターン¯Piが対応する部分テキストT′jに同時にマッチング可能であることである。
• P′がT′にマッチング可能で、かつすべての¯PiがT′jにマッチング可能な単調写像μ: [k] → [l]の存在は、Gにおけるk頂点のクリークの選択に正確に対応する。
• 部分パターン¯PiのいずれかがT′にマッチングできない場合、対応する辺がGに存在しないことを意味し、したがってkサイズのクリークは存在しない。
• 頂点{v2, v3, v5}からなるサイズ3のクリークの例では、P′の要素1, 2, 3がT′の位置2, 3, 5にマッチングされることで確認された。
• 図2の図的表現は、グラフにおけるマッチングされた頂点と辺、およびパターンマッチングプロセスとの対応関係を示している。