[論文レビュー] The concentration-compactness principle for variable exponent spaces and applications

Julián Fernández Bonder, Analía Silva|ArXiv.org|Jun 10, 2009

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 11被引用数 34

ひとこと要約

本稿は、P.L. リオンズの集中・コンパクト性原理を可変指数のルベーグ空間およびソボレフ空間へ拡張し、$W_0^{1,p(x)}(\theta)$ 内の弱収束列が、指数 $q(x)$ が臨界的（$q(x) = p^*(x)$）である点でのみ質量の集中を示すことを証明している。主な結果として、極限測度の精密な分解が確立され、集中を支配する最適なソボレフ型不等式が得られ、これにより臨界および亜臨界非線形項を有する $p(x)$-ラプラシアン方程式に対して無限個の解の存在が示される。

ABSTRACT

In this paper we extend the well-known concentration -- compactness principle of P.L. Lions to the variable exponent case. We also give some applications to the existence problem for the $p(x)-$Laplacian with critical growth.

研究の動機と目的

• P.L. リオンズの古典的集中・コンパクト性原理を可変指数のルベーグ空間およびソボレフ空間の設定に拡張すること。
• 非線形項が特定の点で臨界的成長 $q(x) = p^*(x)$ を示すとき、$W_0^{1,p(x)}(\theta)$ 内の列の集中挙動を分析すること。
• ディルカ・マスが集合 $\mathcal{A} = \{x \in \Omega : q(x) = p^*(x)\}$ に正確に集中することを示す、測度の精密な分解を確立すること。
• 拡張された原理を用いて、臨界および亜臨界非線形項を併せ持つ $p(x)$-ラプラシアン方程式に対する解の存在を証明すること。
• 重み $\lambda(x)$ に対して、$r(x)$ の成長に応じて無限個の解または少なくとも1つの非自明な解の存在を保証する条件を確立すること。

提案手法

• 弱-* 収束の極限としての $|\nabla u_j|^{p(x)}$ および $|u_j|^{q(x)}$ の分析を通じて、可変指数空間に対する一般化された集中・コンパクト性原理を証明する。
• 可変指数を用いたガリャルド＝ニレングラップ＝ソボレフ不等式を用いて、集中閾値を制御する最良定数 $S = S_q(\Omega)$ を定義する。
• 集中は、$\mathcal{A} = \{x : q(x) = p^*(x)\}$ 内の点 $x_i$ のみに発生し、$\mu_i \geq S \nu_i^{1/p^*(x_i)} \cdot \mu_i^{1/p(x_i)}$ を満たすことを確立する。
• 滑らかな切断関数 $\varphi$ を用いてエネルギーを局所化し、部分空間でのパライス＝スメール条件を保証するため、修正された汎関数 $\tilde{\mathcal{F}}(u)$ を構成する。
• 修正された汎関数の部分レベル集合に対してクラソノセルスキー位相次元理論を適用し、無限個の臨界点の存在を証明する。
• 有限次元部分空間における汎関数の挙動を制御するため、比較論的議論および可変指数ノルムにおける同次性推定を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可変指数ソボレフ空間において、臨界指数 $p^*(x)$ が空間的に変化する場合に、集中・コンパクト性原理を拡張することは可能か？
• RQ2 非線形項が $q(x)$-成長を示す列において、特に $q(x)$ が $\Omega$ の部分集合でのみ臨界的である場合、質量の集中がどこに蓄積されるのか？
• RQ3 重み $\lambda(x)$ および指数 $p(x), q(x), r(x)$ にどのような条件を課すと、臨界および亜臨界項を併せ持つ $p(x)$-ラプラシアン方程式に対して無限個の解が存在するか？
• RQ4 標準的コンパクト性が失敗する場合に、可変指数設定における臨界成長を有する汎関数に対して、パライス＝スメール条件をどのように回復できるか？
• RQ5 非定数臨界指数を有する可変指数の場合に、クラソノセルスキー位相次元法をどのように適応し、解の多重性を証明できるか？

主な発見

• 集中・コンパクト性原理が可変指数空間へ成功裏に拡張され、質量の集中が $q(x) = p^*(x)$ である点に限定して発生することが示された。
• 極限測度 $\nu$ は $|u|^{q(x)} + \sum_i \nu_i \delta_{x_i}$ に分解され、$\nu_i > 0$ であり、$\mu \geq |\nabla u|^{p(x)} + \sum_i \mu_i \delta_{x_i}$ であり、$\mu_i > 0$ である。
• 集中は、可変指数ソボレフ埋め込みにおける最良定数 $S$ を用いた鋭い不等式 $S \nu_i^{1/p^*(x_i)} \leq \mu_i^{1/p(x_i)}$ によって支配される。
• $r(x) < p^*(x) - \delta$ の場合、$\inf_{x \in \mathcal{A}_\delta} \lambda(x) > \lambda_0$ を満たす $\lambda_0 > 0$ が存在し、$p,q,r,N,\Omega$ に依存する場合、少なくとも1つの非自明な解の存在が証明された。
• $r(x) < p(x)$ の場合、$\|\lambda\|_{L^\infty} < \lambda_1$ を満たす $\lambda_1 > 0$ が存在し、$p,q,r,N,\Omega$ のみに依存する場合、無限個の解の存在が確立された。
• 修正された汎関数 $\tilde{\mathcal{F}}$ はエネルギーレベル $c \leq 0$ において局所的パライス＝スメール条件を満たし、これにより位相次元理論を用いた多重性の証明が可能になった。