[論文レビュー] The concept of velocity in the history of Brownian motion -- From physics to mathematics and back

Arthur Genthon|HAL (Le Centre pour la Communication Scientifique Directe)|Jun 9, 2020

Philosophy and History of Science参考文献 38被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、物理学から数学へと発展したブラウン運動における速度概念の変遷をたどり、アインシュタイン、ランジュヴィン、スモラウッチェフが物理的理論を構築したのに対し、ウィーナーとオルンシュタイン＝ウーレンバックが後に確率過程を形式化したことを分析する。この過程で根本的な対立が明らかになる：ウィーナーの微分不可能な軌道は速度の否定を意味するが、オルンシュタイン＝ウーレンバックは平均回帰過程を通じて速度を定義しており、数学的理想化と物理的直観が対立しながらも、互いに補い合っていることを示している。

ABSTRACT

Interest in Brownian motion was shared by different communities: this phenomenon was first observed by the botanist Robert Brown in 1827, then theorised by physicists in the 1900s, and eventually modelled by mathematicians from the 1920s, while still evolving as a physical theory. Consequently, Brownian motion now refers to the natural phenomenon but also to the theories accounting for it. There is no published work telling its entire history from its discovery until today, but rather partial histories either from 1827 to Perrin's experiments in the late 1900s, from a physicist's point of view; or from the 1920s from a mathematician's point of view. In this article, we tackle the period straddling the two `half-histories' just mentioned, in order to highlight continuity, to investigate the domain-shift from physics to mathematics, and to survey the enhancements of later physical theories. We study the works of Einstein, Smoluchowski, Langevin, Wiener, Ornstein and Uhlenbeck from 1905 to 1934 as well as experimental results, using the concept of Brownian velocity as a leading thread. We show how Brownian motion became a research topic for the mathematician Wiener in the 1920s, why his model was an idealization of physical experiments, what Ornstein and Uhlenbeck added to Einstein's results, and how Wiener, Ornstein and Uhlenbeck developed in parallel contradictory theories concerning Brownian velocity.

研究の動機と目的

• 物理的および数学的ブラウン運動の歴史の間にあるギャップを埋めること。これらはしばしば孤立して研究されている。
• ブラウン運動が物理的現象から数学的研究課題へとどのように移行したか、とりわけノーバート・ウィーナーの役割に焦点を当てて、その経緯を調査すること。
• アインシュタイン＝スモラウッチェフ理論、ランジュヴィンの手法、ウィーナーの確率過程、オルンシュタイン＝ウーレンバックの速度に基づくモデルにおける速度の取り扱いの対比を分析すること。
• 物理的、数学的、実験的解釈を区別することで、'ブラウン運動'という語の多義的性質を明確にすること。
• 速度の概念が確率過程の発展において中心的で、かつ論争の的となった理由を示すこと。

提案手法

• 1827年から1934年までのブラウン運動の歴史的発展をたどり、主な登場人物であるアインシュタイン、スモラウッチェフ、ランジュヴィン、ウィーナー、オルンシュタイン、ウーレンバックに焦点を当てる。
• 物理的理論（1905年～1910年）と数学的形式化（1920年代～1930年代）を比較するため、速度の概念を統合的テーマとして用いる。
• 英語およびフランス語の原文および翻訳を分析し、時間スケールや微分可能性の取り扱いにおける概念的転換に注目する。
• ウィーナーによる積分論的構成と微分不可能性の関連を、ペランの実験的観察と結びつけて再構築する。
• オルンシュタイン＝ウーレンバックの手法（速度変数と平均回帰的ダイナミクスの導入）と、ウィーナーの速度を含まないモデルを比較する。
• 主要な結果を表形式で統合し、各理論の物理的要素、数学的道具、および結果を提示する。

Figure 1: Example of trajectory where $P_{i}$ are the collision points and $\varepsilon$ is the deviation angle. From [ 44 ] .

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブラウン運動における速度の概念は、実験的観察から理論的モデル化へとどのように発展したか？
• RQ2 ノーバート・ウィーナーがなぜブラウン運動を確率過程の数学的理論の基盤として選んだのか？
• RQ3 ウィーナーの微分不可能な軌道とオルンシュタイン＝ウーレンバックの速度に基づくモデルとの主な相違点は何か？また、それらは通信がなかったにもかかわらず、どのように共存できたのか？
• RQ4 実験で速度を測定できなかったことが、ブラウン運動の数学的モデルの発展にどのように影響したか？
• RQ5 オルンシュタイン＝ウーレンバック過程は、短時間スケールにおけるアインシュタイン理論の限界をどのように解消したか？

主な発見

• ウィーナーの1921年～1933年の研究により、ブラウン運動の軌道は連続的であるが、至るところで微分不可能であることが示され、古典的意味での速度が存在しないことが証明された。
• オルンシュタインとウーレンバックは、短時間スケールにおいて平均二乗変位が⟨x²⟩ ∝ t²に比例することを示し、これは明確な速度の存在を示唆するが、アインシュタインのt比例則とは矛盾する。
• アインシュタインの理論はすべての時間においてガウス型の変位を仮定するが、ウィーナーのモデルは短時間極限を含むすべての時間に拡張されるが、速度は定義されない。
• オルンシュタイン＝ウーレンバック過程は、摩擦や温度といった物理的パラメータと関連する速度変数と平均回帰的ダイナミクスを導入した。
• 数学的・物理的発展は並行して進んだが、両者間には意味ある対話がなく、速度の解釈に矛盾が生じた。
• 本稿は、'ブラウン運動'という語が、物理的現象、アインシュタイン＝スモラウッチェフモデル、ウィーナー過程、オルンシュタイン＝ウーレンバック過程を指す多義的用語であり、それぞれが異なる速度の定義を持つと結論づける。

Figure 2: Example of a path going through the windows of a particular interval $i(I_{3})$ . The image has been rotated by 90 ° compared to the one in the original article.