[論文レビュー] The Concepts and Applications of Fractional Order Differential Calculus in Modelling of Viscoelastic Systems: A primer

Mohammad M. Amirian, Yousef Jamali|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2017

Fractional Differential Equations Solutions被引用数 9

ひとこと要約

本論文は、特に生物学的系を含む材料の粘弾性挙動をモデル化するための分数階微分積分法の応用についてのチュートリアルを提示しており、分数マクロモデルが形状記憶効果を含む複雑な機械的応答を正確に捉えることができることを示している。実験データへのフィットにおいて、標準線形モデルに比べて分數モデルが優れていることが示され、ソフトマターおよび生物組織の粘弾性特性評価のより正確な代替手段としての可能性を示している。

ABSTRACT

Viscoelasticity and related phenomena are of great importance in the study of mechanical properties of material especially, biological materials. Certain materials show some complex effects in mechanical tests, which cannot be described by standard linear equation (SLE) mostly owing to shape memory effect during deformation. Recently, researchers have been applying fractional calculus in order for probing viscoelasticity of such materials with a high precision. Fractional calculus is a powerful tool for modeling complex phenomenon. In this tutorial based paper, we try present clear descriptions of the fractional calculus, its techniques and its implementation. The intention is to keep the details to a minimum while still conveying a good idea of what and how can be done with this powerful tool. We try to expose the reader to the basic techniques that are used to solve the fractional equations analytically and/or numerically. More specifically, modeling the shape memory phenomena with this powerful tool are studied from different perspectives, as well as presented some physical interpretation in this case. Moreover, in order to show the relationship between fractional models and standard linear equations, a fractal system comprising spring and damper elements is considered, and the constitutive equation is approximated with a fractional element. Finally, after a brief literature review, two fractional models are utilized to investigate the viscoelasticity of the cell, and the comparison is made among them, experimental data, and previous models. Verification results indicate that not only does the fractional model match the experimental data well, but it also can be a good substitute for previously used models.

研究の動機と目的

• 生物物理学およびソフトマター分野の研究者を対象に、分數微分法について明快でアクセスしやすい導入を提供すること。
• 分數階微分方程式が、特に形状記憶効果を含む粘弾性現象を、古典的モデルよりも正確にモデル化できる方法を示すこと。
• 分數微分法と粘弾性系における伝統的なばね-ダンパー模型との間の関係を確立すること。
• 細胞の粘弾性に対する実験データを用いて、分數モデルを標準線形モデルおよび先行モデルと比較して検証すること。
• 分數微分法が、ソフトマターおよび生物学的材料における複雑な機械的挙動のモデリングに、堅牢なツールとして採用されることを促進すること。

提案手法

• リーマン＝リウヴィルおよびカプトの分數微分の定義を含む、分數微分法の数学的基盤を導入する。
• 分數要素（例：スプリング・ポット）を用いて、古典的ばねおよびダンパーを一般化する分數階の構成方程式を適用し、粘弾性挙動をモデル化する。
• ばねとダンパーのフラクタル配置からなる系の構成方程式を導出し、それが分數階微分方程式に等価であることを示す。
• 解析的および数値的手法を用いて、粘弾性緩和およびクリープ応答に関連する分數微分方程式を解く。
• 細胞力学の実験データに対して、分數Zenerモデルおよび分數Maxwellモデルという2つの分數モデルを比較する。
• 分數モデルを実験的粘弾性データにフィットさせ、標準線形モデルとの適合度を評価することで、モデルの妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分數微分法を用いることで、古典的整数階モデルに比べて、どのようにして粘弾性挙動をより高精度にモデル化できるか？
• RQ2 粘弾性系における分數階要素（例：スプリング・ポット）の物理的解釈は何か？
• RQ3 ばねとダンパーのフラクタル配置から導かれる分數階モデルは、標準線形モデルと比べてどのように異なるか？
• RQ4 分數モデルは、生物学的材料で観察される形状記憶および時間依存的機械的挙動を正確に記述できるか？
• RQ5 分數モデルは、従来用いられてきた標準線形モデルと比較して、実験的粘弾性データへの適合度においてどのように性能を発揮するか？

主な発見

• 分數階モデルは、標準線形モデルに比べて、細胞の実験的粘弾性データに対して優れたフィットを示す。
• 分數Zenerモデルおよび分數Maxwellモデルは、生物学的組織で観察される複雑な緩和およびクリープ挙動を効果的に捉えている。
• スプリング・ポット要素（分數階粘弾性要素を表す）は、古典的ばねおよびダンパーの挙動をうまく一般化しており、有効に機能している。
• ばねとダンパーのフラクタル配置から得られる構成方程式は、分數微分方程式に簡略化され、微視的構造と巨視的挙動との間の関係を結ぶ。
• 本研究では、分數微分法が、変形下での材料における形状記憶効果をより正確に表現可能であることを示している。
• 検証結果から、分數モデルは正確性に加え、伝統的モデルの代替として粘弾性系解析において実用的であることが確認された。