[論文レビュー] The conductivity measure for the Anderson model

Abel Klein, Peter Müller|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2007

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 20被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、ゼロ温度におけるアンドリュー・タイトバインディング模型のac伝導度について、厳密な数学的枠組みを確立し、任意のフェルミエネルギー 𝜇 に対して伝導度測度 Σ₀ᵘ(𝑑ν) を定義する。また、Lebesgueほとんど至るところの 𝜇 に対して、有限温度における伝導度測度がゼロ温度極限に弱収束することを証明し、T=0における線形応答電流公式が伝導度測度によって正当化されることを示す。

ABSTRACT

We study the ac-conductivity in linear response theory for the Anderson tight-binding model. We define the electrical ac-conductivity and calculate the linear-response current at zero temperature for arbitrary Fermi energy. In particular, the Fermi energy may lie in a spectral region where extended states are believed to exist.

研究の動機と目的

• アンドリュー模型に対して、任意のフェルミエネルギー 𝜇 におけるゼロ温度におけるac伝導度測度 Σ₀ᵘ(𝑑ν) を定義すること。
• 有限温度における伝導度測度 Σₜᵘ(𝑑ν) が Lebesgueほとんど至るところの 𝜇 に対して Σ₀ᵘ(𝑑ν) に弱収束することを証明することで、T=0における線形応答電流公式を正当化すること。
• 従来T>0の状況で確立された伝導度測度の数学的枠組みを、特に拡散状態が存在する領域で従来の導出が失敗していた状況を含め、ゼロ温度の場合にまで拡張すること。
• ゼロ温度領域におけるin-phase線形応答電流の厳密な基礎を提供すること。これは、𝜇 が拡散状態を有するスペクトル領域にある場合でも有効である。

提案手法

• 伝導度測度 Σₜᵘ(𝑑ν) は、ℝ 上の有限正の偶関数Borel測度として定義され、外部電場への周波数依存応答を表す。
• in-phase線形応答電流は、伝導度測度のフーリエ変換を用いて表される：𝐽ₗᵢₙⁱⁿ(𝑡;𝜇,𝑇,𝐸) = ∫ℝ Σₜᵘ(𝑑𝜈) 𝑒ⁱⁿᵗ 𝐸̂(𝜈)。
• ゼロ温度における伝導度測度 Σ₀ᵘ(𝑑ν) は、Lebesgueほとんど至るところのフェルミエネルギー 𝜇 ∈ ℝ に対して、弱収束 lim_{𝑇↓0} Σₜᵘ(𝑑ν) として定義される。
• T=0における線形応答電流は、有限温度電流の点収束として定義される：𝐽ₗᵢₙⁱⁿ(𝑡;𝜇,0,𝐸) = lim_{𝑇↓0} 𝐽ₗᵢₙⁱⁿ(𝑡;𝜇,𝑇,𝐸)。
• 導出は、測度的共変作用素の理論およびエルゴディックな確率的シュレーディンガー作用素の文脈におけるLiouvillian形式主義に依拠している。
• 弱収束の証明は、アンドリューハミルトニアンのスペクトル的性質および完全局在領域に依存しており、グリーン関数の指数的減衰が測度の収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フェルミエネルギー 𝜇 が拡散状態領域にある場合、アンドリュー模型におけるac伝導度をゼロ温度で厳密に定義できるか？
• RQ2 有限温度における伝導度測度 Σₜᵘ(𝑑ν) は、𝑇↓0 のとき、ほとんど至るところのフェルミエネルギー 𝜇 に対して弱収束するか？
• RQ3 T=0におけるin-phase線形応答電流は、有限温度電流公式の極限によって正当化できるか？
• RQ4 局在化がない状況、特に拡散状態が存在する状況において、伝導度測度はT=0でどのように振る舞うか？
• RQ5 局在化やスペクトルギャップの仮定をせず、伝導度測度枠組みをT=0にまで拡張できるか？

主な発見

• ゼロ温度における伝導度測度 Σ₀ᵘ(𝑑ν) は、Lebesgueほとんど至るところのフェルミエネルギー 𝜇 ∈ ℝ に対して、有限温度測度 Σₜᵘ(𝑑ν) の弱収束として厳密に定義される。
• T=0におけるin-phase線形応答電流は、有限温度電流の極限として適切に定義されており、Σ₀ᵘ(𝑑ν) のフーリエ変換を含む同じ積分公式によって与えられる。
• 収束 Σₜᵘ(𝑑ν) → Σ₀ᵘ(𝑑ν) は、Lebesgueほとんど至るところの 𝜇 に対して弱収束するため、ゼロ温度極限の数学的整合性が保証される。
• この結果により、拡散状態が存在するスペクトル領域であっても、伝導度測度形式主義をゼロ温度領域に適用することが正当化される。
• この枠組みは、任意のフェルミエネルギーに対して有効であり、特に局在化が存在しないスペクトル領域にも適用可能であるため、線形応答理論の適用範囲が拡張される。
• 証明は、グリーン関数の指数的減衰が測度収束を保証する完全局在領域に依拠している。