[論文レビュー] The congruent numbers have positive natural density

Alexander Smith|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、有理数の辺を持つ直角三角形の面積として表せる正の整数（合同数）が、平方因子のない整数の中で正の自然密度をもつことを証明している。具体的には、5,6,7 (mod 8) に合同な平方因子のない整数のうち少なくとも 55.9% が合同数であることを示している。証明は、合同数曲線の二次的捩れに対して、Birch と Swinnerton-Dyer の予想の弱化形を確認することに依拠しており、2-セレマー群の計算と解析的ランクの解析を用いている。

ABSTRACT

We prove that the rational elliptic curve y^2 = x^3 - n^2x satisfies the full Birch and Swinnerton-Dyer conjecture for at least 41.9% of positive squarefree integers n equal to 1, 2, or 3 mod 8, and that it satisfies the regular BSD conjecture for at least 55.9% of positive squarefree integers n equal to 5, 6, or 7 mod 8. In particular, at least 55.9% of positive squarefree integers equal to 5, 6, or 7 mod 8 are congruent numbers. These proofs complete an argument started by Tian, Yuan, and Zhang.

研究の動機と目的

• 正の平方因子のない整数の中で、合同数が正の自然密度をもつことを確立すること。
• 合同数曲線 E: y² = x³ - n²x の二次的捩れに対して、Birch と Swinnerton-Dyer の予想の弱化形を検証すること。
• 2-セレマー群のランクが 3 である、すなわち解析的ランクが 1 であるような、平方因子のない整数 n ≡ 5,6,7 (mod 8) の自然密度を特定すること。
• Tian, Yuan, および Zhang が開始したプログラムを完了し、L(E) の偶奇に関する予想 1.1 を、2-セレマー群の構造に関連して証明すること。

提案手法

• n mod 8 と素因数のリーマン記号に依存する F₂ 行列によって定まる Monsky の方法を用いて、E^(n) の 2-セレマー群のランクを計算する。
• Tian, Yuan, および Zhang の結果を応用し、同じ算術的データを用いて L(1,E^(n)) の偶奇を特定する。
• Rubin の虚二次体における Iwasawa 主予想の証明を用いて、解析的ランクが 0 のとき、L(E^(n))/|Sha(E^(n))| が 2-進単数であることを示す。
• Waldspurger の公式を適用し、L(1,E^(n)) をモジュラー形式に関連づけ、L-値の非負性を導出する。
• Swinnerton-Dyer と Kane の確率的ヒューリスティクスを用いて、Monsky 行列の非消滅性の条件が解析的ランク 1 を示す確率が 0.5 であると主張する。
• 素因数分解の上での密度論的議論と平均化技術を用いて、指定された 2-セレマー群のランクと L-値の偶奇をもつ n の自然密度を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平方因子のない正の整数 n ≡ 5,6,7 (mod 8) のうち、どの程度の割合が合同数であるか、すなわち、有理数体 Q 上で y² = x³ - n²x が正のランクをもつのか？
• RQ2 合同数曲線のすべての二次的捩れに対して、弱化された Birch と Swinnerton-Dyer の予想は成り立つか？特に 2-セレマー群が 2- torsion で生成される場合に限る。
• RQ3 平方因子のない整数 n ≡ t (mod 8)（t ∈ {5,6,7}）のうち、2-セレマー群のランクが正確に 3 であるものの自然密度は何か？
• RQ4 F₂ 上の特定の行列式（例：L₅a(n), L₅b(n)）の非消滅性は、解析的ランク 1 を正の密度で予測するために利用可能か？

主な発見

• 平方因子のない正の整数 n ≡ 1,2,3 (mod 8) のうち少なくとも 41.9% が合同数をもつ。
• 平方因子のない正の整数 n ≡ 5,6,7 (mod 8) のうち少なくとも 55.9% が合同数である。
• n ≡ 5,6,7 (mod 8) の場合、2-セレマー群のランクが 3 である n の自然密度は 0.8388 を超える。
• 2-セレマー群のランクが 3 である n ≡ 5 (mod 8) のうち、少なくとも 75% が解析的ランク 1 を示す非消滅条件を満たす。
• 2-セレマー群のランクが 3 である n ≡ 7 (mod 8) のうち、少なくとも 75% が解析的ランク 1 を示す非消滅条件を満たす。
• 2-セレマー群が 2- torsion で生成されるとき、E^(n) に対して完全な Birch と Swinnerton-Dyer の予想が成り立つ。この現象は正の密度をもつ。