[論文レビュー] The conjectures of Embrechts and Goldie

Toshiro Watanabe|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2015

Probability and Risk Models参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、EmbrechtsとGoldieが提起した長年の予想である、畳み込み同値分布の族（γ > 0 に対する S(γ)）が畳み込み根について閉じているという予想を反証する。古典的ウィエナーの近似定理および特性関数の性質を用いて、n重畳み込みが S(γ) に属する分布であっても、元の分布が S(γ) に属さない反例を構成する。主な結果は、任意の γ > 0 に対して S(γ) が畳み込み根について閉じていないことであり、極値理論および確率過程論における30年以上にわたる未解決問題を解決する。

ABSTRACT

It is shown that the class of convolution equivalent distributions and the class of locally subexponential distributions are not closed under convolution roots. Moreover, two sufficient conditions for the closure under convolution roots of the class of convolution equivalent distributions are given.

研究の動機と目的

• EmbrechtsとGoldieの予想IIを解決すること。すなわち、γ > 0 に対して畳み込み同値分布の族 S(γ) が畳み込み根について閉じているかどうかを検証すること。
• S(γ) が畳み込み根について閉じる性質を有するかどうかを調査すること。これは再生理論、キューイング理論、Lévy過程における極限定理にとって重要である。
• 局所的サブ指数的およびΔ-サブ指数的クラスへの分析を拡張し、それらのクラスが畳み込み根について閉じるかどうかを同定すること。
• 予想IIに対する決定的な反例を提示し、確率論における30年間の未解決問題を解決すること。

提案手法

• 畳み込み根の文脈における特性関数およびその逆関数の振る舞いを分析するために、古典的ウィエナーの近似定理を用いる。
• 元の測度 μ を保存する尾部および畳み込み性質を保つ、密度関数 f_c(x) を持つ補助的絶対連続分布 μ_c を定義する。
• 優越収束定理および尾確率の漸近的解析を用いて、m_c(x; {λ_k}) および M_c(x; {λ_k}) の列に関する極限を導出する。
• すべての実数 z に対して特性関数 ĥ_μ(γ + iz) が消えない性質を用いて、極限方程式における逆写像および一意性を保証する。
• M_c(a - u; {λ_k}) の積分と μ_c の (n-1) 重畳み込みとの関係を示す重要な恒等式を導出し、定数極限 C を得る。
• フーリエ変換に関する補題 2.5 を用いて、M_c(a; {λ_k}) が almost everywhere で定数であることを示し、尾の同値性に関するスケーリング関係を確認する。これにより μ_c ∈ S(γ) を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 EmbrechtsとGoldieが予想したように、γ > 0 に対して畳み込み同値分布の族 S(γ) は畳み込み根について閉じているか？
• RQ2 S(γ) が畳み込み根について閉じる性質は、局所的サブ指数的分布 S_loc および Δ-サブ指数的分布 S_Δ に対しても成り立つか？
• RQ3 ウィエナーの近似定理を用いて、S(γ) が畳み込み根について閉じないことを明示的な反例によって示せるか？
• RQ4 μ^{n*} ∈ S(γ) が μ ∈ S(γ) を示すために必要な特性関数およびモーメントの条件は何か？
• RQ5 クラス L(γ) は畳み込み根について閉じているか？また、S(γ) の閉じる性質とはどのように関係するか？

主な発見

• γ > 0 に対して S(γ) は畳み込み根について閉じていない。これにより、EmbrechtsとGoldieの予想IIは反証された。
• 反例は、μ_c^{n*} ∈ S(γ) であるが μ_c ∉ S(γ) である（n ≥ 2）絶対連続近似 μ_c（密度関数 f_c(x) を持つ）の列を用いて構成される。
• すべての c > 0 に対して、分布 μ_c は μ_c^{n*} ∈ S(γ) を満たし、尾の漸近的挙動から定数極限 C = n^{-1} ŝ_μ_c(γ)^{1−n} を得る。この極限は {λ_k} の選択に依存しない。
• 証明は、すべての実数 z に対して特性関数 ĥ_μ(γ + iz) が消えないことにより支えられており、これによりウィエナーの定理を適用して M_c(a; {λ_k}) が almost everywhere で定数であることを導き、結論として μ_c ∈ S(γ) を得る。
• その結果、S_loc および S_Δ クラスも畳み込み根について閉じていない。なぜならこれらは S(γ) の部分集合であるからである。
• この結果は、S(γ) が畳み込み根について閉じる性質が一般には成り立たないことを示し、強力なモーメントおよび解析的条件のもとでも成立しない。これにより、30年間の未解決問題が解決された。