[論文レビュー] The conjugation method in symplectic dynamics

Luis Hernández–Corbato, Francisco Presas|arXiv (Cornell University)|May 30, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、アノソフとカトックの共役化法をシンプレクティックおよび接触幾何に拡張し、局所自由な S¹作用をもつ多様体上に最小なシンプレクティクスモルフィズムおよび厳密にエルゴディックなコンタクトスモルフィズムの存在を証明する。S¹作用の共役の極限として微分同相写像を構成することで、ハミルトニアンでない系ですら、最小性や一意的エルゴディシティといった強い力学的性質を示すことができることを示しており、ハミルトニアン構造がなければ力学的剛性は脆いことが明らかになる。

ABSTRACT

We prove the existence of minimal symplectomorphisms and strictly ergodic contactomorphisms on manifolds which admit a locally free $\mathbb{S}^1$--action by symplectomorphisms and contactomorphisms, respectively. The proof adapts the conjugation method, introduced by Anosov and Katok, to the contact and symplectic setting.

研究の動機と目的

• 局所自由な S¹作用をもつシンプレクティック多様体上で、その作用がシンプレクティック同相写像であると仮定したもとで、最小なシンプレクティクスモルフィズムの存在を確立すること。
• 局所自由な S¹作用をもつ接触多様体上で、その作用が接触同相写像であると仮定したもとで、厳密にエルゴディックなコンタクトスモルフィズムの存在を証明すること。
• 元来滑らかな力学系に用いられた共役化法を、シンプレクティックおよび接触の文脈に適応し、幾何的力学系におけるその有効性を示すこと。
• ハミルトニアン構造をもたないシンプレクティックおよび接触系であっても、最小性や一意的エルゴディシティといった強い力学的性質を示すことができることを示し、このような剛性がハミルトニアン構造に依存するという仮定に疑問を呈すること。
• 構成された微分同相写像が C∞-位相で恒等写像に任意に近づけることができることを示し、滑らかさと近似の制御を保証すること。

提案手法

• アノソフとカトックの共役化法を適応し、多様体上の非自明な S¹作用 {Rα} の共役 hRαh⁻¹ の極限として微分同相写像を構成する。
• C¹位相における共役の閉包上でバナッハのカテゴリ定理を用い、最小性および一意的エルゴディシティをもつ微分同相写像の存在を保証する。
• シンプレクティックな文脈にこの手法を適用する際、C¹閉包群 Symp₀(M, ω) 内で作業し、シンプレクティック同相写像が Diff(M) 内で C¹閉包であることを利用する。
• 接触幾何にこの手法を拡張する際、局所的弧状連結性と C¹閉包性をもつ接触同相写像の群 Cont₀(M, ξ) を用いる。
• シンプレクティック・フォールディングとパラメトリックなシンプレクティック埋め込み定理（例えば h-原理や明示的なフォールディング構成を用いて）を用い、細長いポリディスクを小さな球に埋め込む。
• n−1方向に再帰的スケーリングとフォールディングを施し、基本的な埋め込み補題（補題23）のスケーリング版を繰り返し適用することで、supp およびターゲットサイズを段階的に縮小する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハミルトニアン制約がなければ、共役化法を用いて最小なシンプレクティクスモルフィズムを構成することは可能か？
• RQ2 接触多様体上で局所自由な S¹作用の共役によって構成されたコンタクトスモルフィズムは、厳密にエルゴディック性を示すか？
• RQ3 ハミルトニアン条件を除去することで、シンプレクティックおよび接触力学系における剛性はどの程度損なわれるか？
• RQ4 このような最小性またはエルゴディック性を持つ系は、C∞-位相で恒等写像に任意に近づけて構成可能か？
• RQ5 接触多様体上の正の S¹作用が、厳密にエルゴディックなコンタクトスモルフィズムを生成するにはどのような条件下が必要か？

主な発見

• 任意の局所自由な S¹作用をもつシンプレクティック多様体 (M, ω) に対して、ψ ∈ Symp₀(M, ω) が存在し、それが最小である。すなわち、すべての軌道が M 全体に dense に分布する。
• 任意の局所自由な S¹作用をもつ接触多様体 (M, ξ) に対して、ψ ∈ Cont₀(M, ξ) が存在し、それが厳密にエルゴディックである。すなわち、一意な不変確率測度をもつ。
• S¹作用が正である（すなわち、正のループの接触同相写像を生成する）場合、得られる厳密にエルゴディックなコンタクトスモルフィズム ψ は、正のパスによる接触同相写像の生成を受ける。
• 構成された最小および厳密にエルゴディックな微分同相写像は、C∞-位相で恒等写像に任意に近づけることができる。これにより滑らかさと近似の制御が保証される。
• 重要な技術的結果（補題24）は、任意の r, ε > 0 および δ < ε に対して、P²ⁿ(σ, r, ..., r) を P²ⁿ(δ, ..., δ) に埋め込むことができるハミルトニアン・シンプレクティック同相写像 ϕ が存在し、その台は P²ⁿ(ε, r+ε, ..., r+ε) 内に含まれることを示している。これにより、ポリディスクの台の縮小が可能になる。
• シンプレクティック・フォールディングとスケーリングの再帰的適用（補題24を用いて）により、薄いポリディスクを任意に小さな球に写す合成写像 ϕ = ϕ₁∘...∘ϕₙ₋₁ を構成可能であり、台の制御が保たれる。