[論文レビュー] The Conley Attractor of an Iterated Function System

Michael F. Barnsley, Andrew Vince|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 11被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、非収縮写像を含む反復関数系（IFS）におけるConley吸引域を調査し、コンパクトな距離空間上の可逆IFSに焦点を当てる。すべてのConley吸引域が吸引域ブロックを有することを確立し、チェーン再帰的点の集合が、すべての吸引域-反発域対の共通部分集合に等しいことを示し、IFSの力学におけるConleyのインデックス理論を拡張する。

ABSTRACT

We investigate the topological and metric properties of attractors of an iterated function system (IFS) whose functions may not be contractive. We focus, in particular, on invertible IFSs of finitely many maps on a compact metric space. We rely on ideas Kieninger and McGehee and Wiandt, restricted to what is, in many ways, a simpler setting, but focused on a special type of attractor, namely point-fibred minimal (locally) invariant sets. This allows us to give short proofs of some of the key ideas.

研究の動機と目的

• 反復関数系（IFS）における成分写像が一般に収縮的でない場合の吸引域の位相的・距離的性質を分析すること。
• 単一写像からのConleyの吸引域・反発域理論を、有限個の写像の族（IFS）へと拡張すること、特に可逆の場合を対象とする。
• IFSの吸引域とその逆写像系（\mathcal{F}^*）の反発域との間に双対性を確立し、吸引域-反発域対を形成すること。
• すべての吸引域-反発域対の共通部分集合として、チェーン再帰的点の集合を特徴づけること。
• Conley吸引域が厳密吸引域となる条件を明らかにすること、特にアフィン的およびモービウス的IFSにおいて。

提案手法

• 吸引域ブロック（写像の像が内部に含まれるコンパクト集合）の概念を、Conley吸引域を分析する中心的道具として用いる。
• チェーン再帰的点の概念を用い、$ε$-チェーンを構成することで、力学における再帰的・非再帰的性質を分析する。
• IFSとその逆写像系（$\mathcal{F}^*$）の間の双対性を活用し、$A$ が $\mathcal{F}$ のConley吸引域で $A^*$ が $\mathcal{F}^*$ のConley吸引域であるような吸引域-反発域対を定義する。
• コンパクト部分集合の空間上のHausdorff距離を用い、IFSを $\mathbb{H}(\mathbb{X})$ 上の自己写像として扱い、収束の議論を可能にする。
• KieningerおよびMcGehee–Wiandtのファイバリングと不変集合に関する結果を活用し、IFS設定における証明を簡略化する。
• 閉集合の繰り返し像の極限（$\lim_{k\to\infty} \mathcal{F}^k(\overline{U})$）を用い、吸引域の基盤からConley吸引域を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非収縮的IFSにおけるConley吸引域が、依然として吸引域ブロックを有する条件は何か？
• RQ2 可逆IFSにおける吸引域-反発域対は、系のチェーン再帰的集合とどのように関係するか？
• RQ3 Conley吸引域が厳密吸引域でないことはあり得るか？ もしあるならば、どのような力学的または幾何的条件下で生じるか？
• RQ4 自然なアドレス関数の存在とConley吸引域の厳密性との関係は何か？
• RQ5 非収縮的IFSにおいて、特にアフィン的またはモービウス的IFSにおいて、厳密吸引域が依然として存在する条件は何か？

主な発見

• コンパクト距離空間上のIFSにおけるConley吸引域は、すべて吸引域ブロックを有する。これは定理3.4で証明された。
• IFSのチェーン再帰的点の集合 $\mathcal{R}$ は、すべての吸引域-反発域対の共通部分集合に等しい。すなわち $\mathcal{R} = \bigcap_{A \in \mathcal{U}} (A \cup A^*)$ である。これは定理5.5で確立された。
• 可逆IFSでは、$\mathcal{F}$ のConley吸引域 $A$ に対して、$\mathcal{F}^*$ の対応する互いに素なConley吸引域 $A^*$ が存在し、双対対を形成する。
• モービウス的またはアフィン的IFSの場合、厳密吸引域の存在は写像が収縮的でなければならないことを示しており、非収縮的例では厳密吸引域が得られないことを示している。
• 非収縮的IFSが $\mathbb{R}$ 上に存在し、無限個のConley吸引域を持つ例を構成した。これにより、このような系が豊かな吸引域構造を有することを示した。
• $\mathbb{RP}^2$ 上の射影的IFSが、線（直線）であるConley吸引域を有するが、これは厳密吸引域でないことを示した。これにより、非収縮的設定においてConley吸引域の概念が厳密吸引域の概念よりも弱いかつ厳密に弱いかが明らかになった。