[論文レビュー] The Conley-Zehnder index for a path of symplectic matrices

Jean Gutt|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 5被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、適切なパスに対して、円周への写像の次数として定義される、シンプレクティック行列のパスのためのコンリーザインダー指数の自己完結的で初等的な導入を提供する。ホモトピー不変性、加法性、シグニATURE性といった主要な性質を確立し、これらの性質に加えてループ性およびゼロ性の性質が、指数を特徴づけることを証明する。さらに、ラグランジュ的パスを通じてロビン・サラモン指数と関連づけ、両者の違いを明確にし、シンプレクティックシアーにおいては一致することを示している。

ABSTRACT

We give here a self contained and elementary introduction to the Conley-Zehnder index for a path of symplectic matrices. We start from the definition of the index as the degree of a map into the circle for a path starting at the identity and ending at a matrix for which 1 is not an eigenvalue. We prove some properties which characterize this index using normal forms for symplectic matrices obtained from geometrical considerations. We explore the relations to Robbin-Salamon index for paths of Lagrangians. We give an axiomatic characterization of the generalization of the Conley-Zehnder index for any continuous path of symplectic matrices defined by Robbin and Salamon.

研究の動機と目的

• シンプレクティック行列のパスのためのコンリーザインダー指数の自己完備的で初等的な解説を提供すること。
• ホモトピー、ループ、シグニATURE性といった性質を用いた公理的特徴づけを通じて、コンリーザインダー指数を特徴づけること。
• ラグランジュのパスにおけるコンリーザインダー指数とロビン・サラモン指数の関係を明確にすること。
• 指数特徴づけに用いるために、幾何的手段を用いてシンプレクティック行列の標準形を確立すること。
• ロビン・サラモン指数とコンリーザインダー指数がシンプレクティックシアーにおいて一致するが、一般には異なることを示すこと。

提案手法

• 初期値が単位行列で、終点行列の固有値に1を含まないパスに対して、その指数を円周への写像の次数として定義する。
• シンプレクティック群における半単純行列の稠密性を用いて定義を正当化し、幾何的考察を通じて標準形を構成する。
• 主な性質の証明：自然性、ホモトピー不変性、ゼロ性、積性、ループ性、シグニATURE性、行列式性、逆元性。
• 積空間 $\mathbb{R}^{2n} \times \mathbb{R}^{2n}$ 上の標準シンプレクティック形式 $\overline{\Omega} = -\Omega_0 \oplus \Omega_0$ における行列のグラフを通じて、コンリーザインダー指数とロビン・サラモン指数を関連付ける。
• 固定されたラグランジュ部分空間 $V = \{0\} \times \mathbb{R}^n$ の像を用いた代替的ロビン・サラモン指数 $\mu_{\textrm{RS}2}$ を導入する。
• 両指数がホモトピー不変性、パスの連結における加法性、シグニATURE性を満たすが、一般には異なる。特に $\mu_{\textrm{RS}2}$ は $\dim(\psi_t V \cap V)$ が一定であるパスで消える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幾何的および位相的手段を用いて、コンリーザインダー指数を初等的かつ自己完備的に定義・特徴づける方法は何か？
• RQ2 適切なパスに対して、コンリーザインダー指数を一意に特徴づける性質は何か？
• RQ3 ラグランジュのパスにおけるコンリーザインダー指数とロビン・サラモン指数の明確な関係は何か？
• RQ4 2つのロビン・サラモン指数 $\mu_{\textrm{RS}}$ と $\mu_{\textrm{RS}2}$ が一致する場合と異なる場合の条件は何か？
• RQ5 指数は共役、パスの連結、および特定の行列型（例えばシンプレクティックシアー）においてどのように振る舞うか？

主な発見

• コンリーザインダー指数は、適切なパスに対してホモトピー性、ループ性、シグニATURE性によって完全に特徴づけられる。
• 逆元性：$\mu_{CZ}(\psi^{-1}) = -\mu_{CZ}(\psi)$ が成り立ち、転置性：$\mu_{CZ}(\psi^\tau) = -\mu_{CZ}(\psi)$ も成り立つ。
• 行列式性：$(-1)^{n - \mu_{CZ}(\psi)} = \operatorname{sign} \det(\operatorname{Id} - \psi(1))$ が成り立つ。
• ロビン・サラモン指数 $\mu_{\textrm{RS}}$ は、端点を固定したホモトピーに関して不変であり、パスの連結に関して加法的である。
• $\mu_{\textrm{RS}2}$ は $\dim(\psi_t V \cap V)$ が一定であるパスで消えるが、一般には $\mu_{\textrm{RS}}$ とは異なり、シンプレクティックシアーによる反例で示される。
• シンプレクティックシアー $\psi_t = \begin{pmatrix} \mathrm{Id} & B(t) \\ 0 & \mathrm{Id} \end{pmatrix}$ に対して、$\mu_{\textrm{RS}}$ と $\mu_{\textrm{RS}2}$ はともに $\frac{1}{2} \operatorname{Sign} B(0) - \frac{1}{2} \operatorname{Sign} B(1)$ に等しくなるため、この場合に両者が一致することが示された。