[論文レビュー] The connectedness of the moduli space of maps to homogeneous spaces

Byeong Chul Kim, Rahul Pandharipande|ArXiv.org|Mar 27, 2000

Advanced Algebra and Geometry参考文献 4被引用数 31

ひとこと要約

本稿では、コンpaktoな複素同調空間 $\mathbf{G}/\mathbf{P}$ への安定写像のモジュライ空間の連結性を確立し、すべての $g$、$n$、$\beta$ に対して $\overline{M}_{g,n}(...$ が連結であることを証明している。証明は、$\mathbf{G}/\mathbf{P}$ 上の最大トーラス作用と、Bialynicki-Birula の細分による退化を用い、有理性と連結性がトーラス固定点成分の構造およびベクトル表現への等変な双有理同型性から導かれることが示された。

ABSTRACT

We prove the connectedness of the moduli space of maps (of fixed genus and homology class) to the homogeneous space G/P by degeneration via the maximal torus action. In the genus 0 case, the irreducibility of the moduli of maps is a direct consequence of connectedness. An analysis of a related Bialynicki-Birula stratification of the map space yields a rationality result: the (coarse) moduli space of genus 0 maps to G/P is a rational variety. The rationality argument depends essentially upon rationality results for quotients of SL2 representations proven by Katsylo and Bogomolov.

研究の動機と目的

• 任意のコンパクト複素同調空間 $\mathbf{G}/\mathbf{P}$、種数 $g$、曲線類 $\beta$ に対して、モジュライ空間 $\overline{M}_{g,n}(\mathbf{G}/\mathbf{P},\beta)$ の連結性を確立すること。
• 既知の $\overline{M}_{0,n}(\mathbf{G}/\mathbf{P},\beta)$ の既約性に関する結果を、一般の種数に拡張して連結性を証明すること。
• トーラス作用における固定点解析を用いて、$\overline{M}_{0,n}(\mathbf{G}/\mathbf{P},\beta)$ の有理性を示すこと。
• トーラスに等変な幾何と商構成を用いて、境界ストラトの構造とその既約性を分析すること。

提案手法

• 最大トーラス $\mathbf{T}$ の $\mathbf{G}/\mathbf{P}$ 上の作用を用い、アフィンストラトに分かれる Bialynicki-Birula の細分を構成する。
• 曲線 $X$ 内の $\mathbb{P}^1$ の標準的配置に帰着するために、$\mathbb{C}^*$-作用による写像の極限を用いた退化技法を適用する。
• 各固定トポロジー型と曲線類分布 $\beta_\tau$ を持つ安定的で、マークされたモジュラー・グラフ $\tau$ によってインデックス付けされたストラトにモジュライ空間を分解する。
• Bialynicki-Birula 理論からの等変な双有理同型の結果を用い、$g=0$ の場合に各ストラト $\overline{M}_{\tau,n}(\mathbf{G}/\mathbf{P},\beta_\tau)$ が有理的であることを示す。固定点における接空間表現を用いる。
• Bialynicki-Birula の定理 2.5 の修正版を用い、固定点の近傍とその接空間表現との間で $\mathbb{C}^* \times \mathbf{A}$-等変な双有理同型性を確立する。
• Katsylo および Bogomolov の $\mathrm{SL}_2$-表現の商に関する結果を応用し、非自明な自己同型群をもつ場合の、粗いモジュライ空間の有理性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト複素同調空間 $X = \mathbf{G}/\mathbf{P}$ に対して、すべての $g$、$n$、$\beta$ について、モジュライ空間 $\overline{M}_{g,n}(\mathbf{G}/\mathbf{P},\beta)$ は連結か？
• RQ2 トーラス作用を用いて、すべての同調空間に一様に $\overline{M}_{0,n}(\mathbf{G}/\mathbf{P},\beta)$ の既約性を確立できるか？
• RQ3 有理的であるトーラス固定点成分とその商から、$\overline{M}_{0,n}(\mathbf{G}/\mathbf{P},\beta)$ の有理性が導かれるか？
• RQ4 写像の自己同型群は、低次数または低マーク数の状況におけるモジュライ空間の双有理幾何にどのように影響するか？
• RQ5 特異点や非自明な自己同型群をもつ場合でも、Bialynicki-Birula の細分を用いてモジュライ空間の連結性を証明できるか？

主な発見

• すべての $g$、$n$、$\beta$ に対して、$\overline{M}_{g,n}(\mathbf{G}/\mathbf{P},\beta)$ が連結であることは、定理 1 で確立された。
• 種数 0 のモジュライ空間 $\overline{M}_{0,n}(\mathbf{G}/\mathbf{P},\beta)$ は既約である。これは、その連結性と商特異点構造の結果である。
• モジュラー・グラフ $\tau$ によってインデックス付けされた各ストラト $\overline{M}_{\tau,n}(\mathbf{G}/\mathbf{P},\beta_\tau)$ は連結である。これは定理 2 で示された。
• モジュライ空間 $\overline{M}_{0,n}(\mathbf{G}/\mathbf{P},\beta)$ は有理的である。これは定理 3 で証明され、固定点における接空間表現への等変な双有理同型性を用いた。
• 非自明な自己同型群（例：$\Sigma_3$ や $\Sigma_2$）をもつ場合、粗いモジュライ空間は依然として有理的である。これは、自己同型群による線形表現の商と双有理的であるためである。
• 境界除数 $\overline{M}_{0,n}(\mathbf{G}/\mathbf{P},\beta)$ は既約である。これは、ストラト $\overline{M}_{\tau,n}(\mathbf{G}/\mathbf{P},\beta_\tau)$ の既約性に由来する corollary 2 の結果である。