[論文レビュー] The connection between polarization calculus and four-dimensional rotations

Magnus Karlsson|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2013

Optical Polarization and Ellipsometry被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、偏光変換を6自由度を有する4次元（4D）回転として表現することにより、ジョーンズ形式およびストークス＝ミュラー偏光計算を統一的かつ拡張する4次元回転形式を提案する。この形式により、余分な2自由度が量子力学的交換関係に反する非物理的変換に対応することが示され、一方で、4D回転多様体上の平行移動によってパーンチャラトナム位相とベリー位相を幾何学的に説明する枠組みを提供する。

ABSTRACT

We review the well-known polarization optics matrix methods, i.e., Jones and Stokes-Mueller calculus, and show how they can be formulated in terms of four-dimensional (4d) rotations of the four independent electromagnetic field quadratures. Since 4d rotations is a richer description than the conventional Jones and Stokes-Mueller calculi, having six rather than four degrees of freedom (DOF), we propose an extension of those calculi to handle all six DOF. For the Stokes-Mueller analysis, this leads to a novel and potentially useful extension that accounts for the absolute phase of the optical field, and which can be valuable in the areas where the optical phase is of interest, e.g. interferometry or coherent communications. As examples of the usefulness we use the formalism to explain the Pancharatnam phase by parallel transport, and shows its connection with the Berry phase. In addition we show that the two extra DOF in the 4d description represents unphysical transformations, forbidden for propagating photons, since they will not obey the fundamental quantum mechanical boson commutation relations.

研究の動機と目的

• 6自由度を有する共通の4次元回転形式に基づき、ジョーンズ形式とストークス＝ミュラー形式を統一し、より豊かな幾何的構造を有する。
• 従来の偏光計算とは異なる4次元回転における追加の2自由度を特定・分析する。
• パーンチャラトナム位相が4次元回転形式における平行移動からどのように生じるかを示す。
• 幾何位相理論を通じて、4次元回転形式とベリー位相との関係を明らかにする。
• 量子力学的交換関係に基づき、実際の光子が伝搬する際に物理的に許容される6つの4次元回転自由度はどれかを明確にする。

提案手法

• 右および左の等長的回転ベクトル hα と hβ でパrameter化された反対称行列 K を含む4次元進化方程式を用いて、偏光の進化を定式化する。
• 生成子 sij と回転パrameter ρk, λk を含む交換関係を用いて、ストークス状態行列 E の微分的進化を表現する。
• 入出力関係を E(z) = M(2z hα) E(0) M(2z hβ)T として導出する。ここで M は3次元回転演算子である。
• パウリ行列と行列指数関数を用いて、ジョーンズ状態行列とストークス状態行列の間の数学的橋渡しを確立する。
• レヴィ・チビタテンソルと外積恒等式を用いて、4次元回転空間におけるベクトル外積の形で力学を表現する。
• 4次元回転形式が、絶対位相およびパーンチャラトナム位相やベリー位相のような幾何位相を自然に説明できることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジョーンズ形式とストークス＝ミュラー形式を、6自由度を有する単一の4次元回転形式で統一することは可能か？
• RQ2 4次元偏光回転における追加の2自由度の幾何的・物理的意味は何か？
• RQ3 4次元回転形式は、平行移動によるパーンチャラトナム位相をどのように説明するか？
• RQ4 4次元回転形式と量子幾何位相におけるベリー位相との関係は何か？
• RQ5 6つの4次元回転自由度のうち、実際の光子に対して物理的に許容されるのはどれであり、なぜそうなるのか？

主な発見

• 4次元回転形式は、6自由度を有する統一的幾何的記述を提供し、ジョーンズ形式およびストークス＝ミュラー形式の4自由度を拡張する。
• 4次元回転形式における余分な2自由度は、基本的なボソンの交換関係に反する非物理的変換に対応する。
• パーンチャラトナム位相は、4次元回転多様体上の平行移動に起因するホロノミー効果として幾何学的に説明される。
• 4次元形式は、回転空間の曲率を通じて、パーンチャラトナム位相とベリー位相との直接的な関係を明らかにする。
• ストークス状態行列の入出力関係は、E(z) = M(2z hα) E(0) M(2z hβ)T として導出され、右および左の等長的回転の両方の依存性が明確に示される。
• 形式は、正規化されたジョーンズベクトルに対して有効な Ejkσk = E⁺σjE という明確な行列関係を、ジョーンズ状態行列とストークス状態行列の間で確立する。