[論文レビュー] The connection between statistical mechanics and quantum field theory

Barry M. McCoy|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 1994

Theoretical and Computational Physics被引用数 24

ひとこと要約

この4回の講義シリーズでは、経路積分形式によるユークリッド量子場理論と平衡統計力学の間の深い形式的・概念的関係を確立している。特に、分配関数と相関関数を通じて、両者の間には同一の数学的構造が存在することを示している。主な貢献は、臨界現象、相転移、および非摂動的効果（チャーミカル・ポットス模型における準位の交差を含む）が、この統一的枠組みを通じて理解可能であることを示したことである。これにより、量子場理論と統計力学は、同じ基礎的な物理の異なる側面であることが明らかになった。

ABSTRACT

A four part series of lectures on the connection of statistical mechanics and quantum field theory. The general principles relating statistical mechanics and the path integral formulation of quantum field theory are presented in the first lecture. These principles are then illustrated in lecture 2 by a presentation of the theory of the Ising model for $H=0$, where both the homogeneous and randomly inhomogeneous models are treated and the scaling theory and the relation with Fredholm determinants and Painlev{é} equations is presented. In lecture 3 we consider the Ising model with $H eq 0$, where the relation with gauge theory is used to discuss the phenomenon of confinement. We conclude in the last lecture with a discussion of quantum spin diffusion in one dimensional chains and a presentation of the chiral Potts model which illustrates the physical effects that can occur when the Euclidean and Minkowski regions are not connected by an analytic continuation. (To be published as part of the Proceedings of the Sixth Annual Theoretical Physics Summer School of the Australian National University which was held in Canberra during Jan. 1994.)

研究の動機と目的

• ユークリッド量子場理論と平衡統計力学の間の形式的および概念的同等性を明確にすること、特に経路積分形式を通じて。
• 統計系における臨界現象および相転移が、クォーク閉じ込めや準位交差といった量子場理論的現象と類似していることを示すこと。
• チャーミカル・ポットス模型における非摂動的効果を調査すること。特に、ローレンツ不変性およびミンコフスキー空間とユークリッド空間との間の解析接続が破綻する点に注目する。
• イジング模型およびその一般化が、特に拡散とスピンダイナミクスを伴う1次元系において、量子場理論と統計力学を統合的に研究するための枠組みを提供すること。

提案手法

• ユークリッド量子場理論における経路積分と統計力学における分配関数の形式的類似性を用い、作用 $ S_E $ がエネルギー $ E $ に対応し、$ \hbar $ が $ kT $ に対応することを示す。
• スケーリング理論とフレドホルム行列式技術を用いて、$ H = 0 $ におけるイジング模型の臨界行動を分析し、Painlevé超越関数と関連付ける。
• $ H \neq 0 $ におけるイジング模型を、ゲージ理論の類似性を用いて、特にスピン鎖の文脈でクォーク閉じ込めに類似した現象を研究する。
• 1次元鎖における量子スピン拡散を、ローレンツ不変性を破り、空間と時間の依存性が非対称であるチャーミカル・ポットス模型を用いて分析する。
• ヤン＝バクスター方程式やホロノミック系を用いた非摂動的技法により、標準的なQFTの仮定を超えた相関関数を計算する。
• 固有値と準位間隔分布の数値的評価を用いて、基底状態エネルギーに特異性がない場合でも、準位交差によって相転移を検出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユークリッド量子場理論と平衡統計力学の経路積分形式の間の正式な関係は何か？この対応からどのような物理的洞察が得られるか？
• RQ2 イジング模型が、特に臨界現象とスケーリング行動の文脈において、統計力学と量子場理論の概念をどのように統合するか？
• RQ3 $ H \neq 0 $ のイジング模型において、ゲージ理論におけるクォーク閉じ込め現象がどのように類似的に理解できるか？これにより、トポロジカルおよびダイナミカル制約について何が明らかになるか？
• RQ4 チャーミカル・ポットス模型は、ミンコフスキー空間とユークリッド空間との間の標準的な解析接続の仮定をどのように挑戦するか？この破綻からどのような新しい物理が生じるか？
• RQ5 基底状態エネルギーに特異性がない準位交差転移は、統計系における相転移の従来の分類法にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 作用 $ S_E $ がエネルギー $ E $ に、$ \hbar $ が $ kT $ に対応するとき、ユークリッドQFTと古典的統計力学の分配関数は形式的に同一であり、深い構造的同等性が確立される。
• イジング模型において $ H = 0 $ のとき、スケーリング極限はフレドホルム行列式とPainlevé超越関数に支配される相関関数を生じ、正確に解けるモデルと非線形微分方程式を結びつける。
• $ H \neq 0 $ のイジング模型では、特にスピン鎖やトポロジカル制約の文脈で、ゲージ理論に類似したクォーク閉じ込めに類似した振る舞いを示す。
• チャーミカル・ポットス模型では、基底状態エネルギーが滑らかであるにもかかわらず、転送行列の非正の固有値により固有状態が変化する準位交差転移を示し、従来の臨界理論の範囲外の相転移を示している。
• 数値的評価により、$ 0.9013 < \lambda < 1/0.9013 $ の範囲で固有値 $ e_r(P) $ が負数に変わるため、準位交差と相転移が生じ、エネルギー特異性では検出できない。
• チャーミカル・ポットス模型における相関関数はローレンツ不変性を欠き、空間と時間の扱いが非対称であるため、標準的なQFTにおけるミンコフスキー空間とユークリッド空間との間の解析接続の仮定は一般には成り立たない。