[論文レビュー] The Connection between the Number of Realizations for Degree Sequences and Majorization

Annabell Berger|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2012

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 38被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、与えられた次数列に対するグラフ、二部グラフ、有向グラフの実現数と単調性の間の新しい関係を確立する。$ S' $ が別の列 $ S $ を単調に支配するならば、$ S $ は $ S' $ より厳密に多くの実現を有することを証明しており、$ n $ と $ m $ を固定したとき、定数列または最小凸列が実現数を最大化することが示されている。

ABSTRACT

The \emph{graph realization problem} is to find for given nonnegative integers $a_1,\dots,a_n$ a simple graph (no loops or multiple edges) such that each vertex $v_i$ has degree $a_i.$ Given pairs of nonnegative integers $(a_1,b_1),\dots,(a_n,b_n),$ (i) the \emph{bipartite realization problem} ask whether there is a bipartite graph (no loops or multiple edges) such that vectors $(a_1,...,a_n)$ and $(b_1,...,b_n)$ correspond to the lists of degrees in the two partite sets, (ii) the \emph{digraph realization problem} is to find a digraph (no loops or multiple arcs) such that each vertex $v_i$ has indegree $a_i$ and outdegree $b_i.$\\ The classic literature provides characterizations for the existence of such realizations that are strongly related to the concept of majorization. Aigner and Triesch (1994) extended this approach to a more general result for graphs, leading to an efficient realization algorithm and a short and simple proof for the Erdős-Gallai Theorem. We extend this approach to the bipartite realization problem and the digraph realization problem.\\ Our main result is the connection between majorization and the number of realizations for a degree list in all three problems. We show: if degree list $S'$ majorizes $S$ in a certain sense, then $S$ possesses more realizations than $S'.$ We prove that constant lists possess the largest number of realizations for fixed $n$ and a fixed number of arcs $m$ when $n$ divides $m.$ So-called \emph{minconvex lists} for graphs and bipartite graphs or \emph{opposed minconvex lists} for digraphs maximize the number of realizations when $n$ does not divide $m$.

研究の動機と目的

• 非有向グラフに限らない単調性フレームワークを二部グラフおよび有向グラフへ拡張すること。
• 次数列の実現数が単調性順序とどのように関係するかを特定すること。
• 固定された $ n $ と $ m $ の下で実現数を最大化する次数列を同定すること。
• 単調性と転送経路を用いた実現数の数え上げの統一的理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 整数ベクトル上の古典的単調性関係 $ \prec $ を用いて次数列を比較する。
• ユニット転送操作を適用して列を変換し、実現数の変化を分析する。
• 既知の特徴付け定理（Erdős-Gallai, Gale-Ryser, Fulkerson）を基礎的制約として活用する。
• 対称的有向グラフ表現を用いて、有向次数列と通常のグラフ次数列との間の全単射写像を確立する。
• 転送経路に関する帰納的議論を用いて、単調性の下での実現数の単調性を証明する。
• 実現数を最大化する極値例として、最小凸列および逆最小凸列の概念を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単調性は、グラフ、二部グラフ、有向グラフ設定下での次数列の実現数とどのように関係するか？
• RQ2 ある列が他の列を単調に支配する場合、常に実現数が少なくなるのか？
• RQ3 固定された $ n $ と $ m $ の下で、どの次数列が実現数を最大化するか？
• RQ4 単調性と転送経路を用いて、実現数を有界化できるか？
• RQ5 実現数の観点から、極値列（例：定数列または最小凸列）を特徴づける構造的性質は何か？

主な発見

• もし $ a \prec a' $ かつ $ a \neq a' $ ならば、$ a $ のグラフ実現数は $ a' $ より厳密に大きく、すなわち $ N_3(a) > N_3(a') $ が成り立つ。
• $ n $ が $ m $ を割り切るとき、定数次数列が実現数を最大化する。
• $ n $ が $ m $ を割り切らないとき、グラフおよび二部グラフに対しては最小凸列、有向グラフに対しては逆最小凸列が実現数を最大化する。
• 任意の単調に支配される列から支配列への転送経路に沿って、実現数は厳密に減少する。
• 対称的有向次数列に対しては、実現数が通常のグラフ実現数と一対一対応し、単調性に基づく順序が保存される。
• 与えられた $ m $ と $ n $ に対して最小凸列 $ \alpha $ は、任意の他の非増加グラフ次数列 $ a $ に対して $ \alpha \prec a $ を満たし、したがって $ N_3(\alpha) \geq N_3(a) $ が成り立つ。