[論文レビュー] The Connes-Kasparov conjecture for almost connected groups

Jérôme Chabert, Siegfried Echterhoff+1 more|ArXiv.org|Oct 12, 2001

Advanced Operator Algebra Research参考文献 23被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、Mackeyマシンの技法、連続的C*-代数の族、およびBaum-Connes予想の永続性性質を用いて、再帰的および半単純な場合に帰着することで、ほとんど連結な局所コンパクト群に対してConnes-Kasparov予想を証明する。その結果、群のK理論と最大コンパクト部分群のK理論との間の同型が得られ、平方可積分表現に関連する結果が得られる。

ABSTRACT

Let $G$ be a locally compact group with cocompact connected component. We prove that the assembly map from the topological $\k$-theory of $G$ to the $\k$-theory of the reduced $C^*$-algebra of $G$ is an isomorphism.

研究の動機と目的

• すべての第二可算なほぼ連結群に対して、自明な係数を用いたBaum-Connes予想を確立すること。
• 線形的またはアメニタリーな群を超えて、再帰的および半単純な場合に帰着することで、Connes-Kasparov予想を一般化すること。
• ほぼ連結群の位相的K理論とその最大コンパクト部分群のK理論との間の関係を明確にすること。
• 単模性を満たすリー群における平方可積分因子表現の存在に関するK理論的基準を提供すること。

提案手法

• ほぼ連結群のBaum-Connes予想を再帰的ケースに帰着させるために、Mackeyマシンの手法を用いる。
• 群の拡大およびクロス積に関して、Baum-Connes予想の永続性性質を適用する。
• 連続的C*-代数の族を用いて、底空間および群の上でやや弱い位相的条件が満たされれば、ファイバーから全空間へと予想を上げる。
• 中心が有限な半単純群に関するLafforgueの結果を活用し、線形性の仮定なしに、すべての再帰的群へと予想を拡張する。
• Pukánszkyの連結リー群の表現論を用いて、最大コンパクト部分群の構造とその接空間への作用を分析する。
• Mackeyの障害とSpin^c構造を介したねじれK理論の同型を用いて、ねじれ群C*-代数のK理論と最大コンパクト部分群のK理論とを関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべてのほぼ連結な局所コンパクト群に対して、Baum-Connesアセンブルマップは同型のままであるか？
• RQ2 連続的場と永続性技法を用いて、非線形再帰的群へとConnes-Kasparov予想を拡張できるか？
• RQ3 縮小群C*-代数のK理論と最大コンパクト部分群のK理論との間の正確な関係は何か？
• RQ4 連結な単模性を満たすリー群が、どのような条件下で平方可積分因子表現をもつのか？
• RQ5 恒等元における接空間への随伴作用の方向性は、ねじれ群C*-代数のK理論にどのように影響するか？

主な発見

• 第二可算なほぼ連結群すべてに対して、Baum-Connesアセンブルマップが同型であることが確認され、この場合にConnes-Kasparov予想が証明された。
• 最大コンパクト部分群がLであるようなほぼ連結群Gに対して、K理論の同型が成り立つ：K*(C_r*(G,ω)) ≅ K_{*+n}(C*(L, ω·μ_L)) ここで n = dim(G/L)。
• LがT_eLに随伴作用する際に方向を保つならば、K_*(C_r*(G,ω)) は偶数次元で高々可算個の生成元を持つ自由アーベル群に同型であり、奇数次元では自明である。
• ねじれコサイクルωが自明であるとき、K*(C_r*(G)) ≅ K_{*+n}(C*(L, μ_L)) が成り立ち、μ_Lが自明であることと、G/LがG-不変なSpin^c構造をもつことは同値である。
• 連結な単模性を満たすリー群のすべての平方可積分因子表現は型Iであり、dim(G/L) が奇数である場合にはこのような表現は存在しない。
• dim(G/L) が奇数であるとき、縮小ねじれ群C*-代数 C_r*(G,ω) のK理論は奇数次元で自明であり、偶数次元では自由アーベル群である。