[論文レビュー] The conservation of the Hamiltonian structures in Whitham's method of averaging

A. Ya. Maltsev|ArXiv.org|Nov 28, 1996

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 7被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、非線形発展系に対するウィタムの平均化法において、m相解の平均化によって構成されるデュブロビン＝ノヴィコフのポアソン括弧に対して、ジャコビ恒等式を厳密に確立することにより、局所ハミルトニアン構造の保存を証明する。関数の部分多様体上でディラックの制約手続きを用いることで、得られる括弧が局所保存則の選択に依存しないことが示され、周期的または準周期的解の遅い変調極限においてハミルトニアン構造が保存されることを保証する。

ABSTRACT

The work is devoted to the proof of the conservation of local field-theoretical Hamiltonian structures in Whitham's method of averaging. The consideration is based on the procedure of averaging of local Poisson bracket, proposed by B.A.Dubrovin and S.P.Novikov. Using the Dirac procedure of restriction of the Poisson bracket on the submanifold in the functional space, it is shown in the generic case that the Poisson bracket, constructed by method of Dubrovin and Novikov, satisfies the Jacobi identity. Besides that, the invariance of this bracket with respect to the choice of the set of local conservation laws, used in this procedure, is proved.

研究の動機と目的

• 非線形偏微分方程式に対するウィタムの平均化法における局所場理論的ハミルトニアン構造の保存を確立すること。
• m相解の平均化によって構成されるデュブロビン＝ノヴィコフのポアソン括弧がジャコビ恒等式を満たすことを証明すること。
• 平均化手順に用いられる局所保存則の集合の選択に依存しない、結果として得られるハミルトニアン構造を示すこと。
• 可積分な偏微分方程式から導かれるウィタム系のハミルトニアン形式の厳密な基礎を提供すること。

提案手法

• 局所型のハイドロダイナミクス的ポアソン括弧をm相解の平均化に適用するデュブロビン＝ノヴィコフの手続きを用いる。
• 元のポアソン括弧を、ゆっくり変化する変調解の部分多様体に制限するためにディラックの制約手続きを用いる。
• 位相シフトと追加パラメータでパrameter化されたm相解の存在に条件を課し、N=2m+g個の独立な保存則の存在を保証する。
• 調製パラメータU^νの観点から平均化された括弧を導出し、一般の場合にジャコビ恒等式を満たすことを示す。
• 制約多様体上の座標変換による不変性を用いて、異なる保存則集合の選択に対しても括弧が不変であることを示す。
• 保存則による流れの密度の時間発展を解析し、ウィタムの方程式と整合的であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 デュブロビン＝ノヴィコフの平均化手続きによって構成されたポアソン括弧は、ジャコビ恒等式を満たすか？
• RQ2 ウィタム法における結果として得られるハミルトニアン構造は、平均化プロセスに用いられる局所保存則の選択に依存しないか？
• RQ3 m相解の文脈において、ディラック手続きを用いて平均化された括弧のジャコビ恒等式を証明できるか？
• RQ4 平均化された保存則による流れは、元の系の力学とどのように関係するか？
• RQ5 周期的または準周期的解の遅い変調において、ハミルトニアン構造が保存される条件は何か？

主な発見

• ディラックの制約手続きを用いて、一般の場合において、デュブロビン＝ノヴィコフ法による平均化されたポアソン括弧のジャコビ恒等式が厳密に証明された。
• 制約多様体上の座標変換不変性を用いて、平均化プロセスに用いられる局所保存則の集合の選択に依存しない、結果として得られるハミルトニアン構造の不変性が示された。
• 平均化された括弧は、元の系のハミルトニアン性質を保ち、m相解に対するウィタム方程式が構成された括弧に関してハミルトニアン的であることが保証された。
• 平均化された保存則による流れは、正確にウィタム方程式に対応し、ハミルトニアンが変調パラメータの遅い発展を生成することが分かった。
• 式(8)の形をしたすべての関数的について、ハミルトニアンおよび互いに可換である限り、手続きは一貫しており、運動量や消滅子を含む、自明または並進的流れを生成するものも含まれる。
• m相解の完全な族が位相シフトと追加定数でパラメータ化可能であり、N=2m+g個の独立な保存則が存在するという仮定の下で、この構成は有効である。