[論文レビュー] The consistency strength of NFUB

Robert M Solovay|ArXiv.org|Jul 30, 1997

Formal Methods in Verification被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、フォン・ノイマン＝ベルクスキー集合論（NFUB）—クヴァインのニューオールドフォンダメンツ集合論の変種—の整合性の強さが、冪集合公理を除いたZFCに弱いコンパクト基数が加わったものとちょうど一致することを確立している。ロバート・M・ソロヴェイは、数学的論理学の高度な技術を用いてこれを証明し、NFUBがこのよく知られた大基数仮定の下で相対的に整合的であることを示している。

ABSTRACT

We show that the consistency strength of the system NFUB, a variant of Quine's "New Foundations" recently introduced by Randall Holmes, is precisely that of [ZFC - Power Set] + "There is a weakly compact cardinal''. This is a preliminary draft of the paper. Nevertheless, it contains a complete proof.

研究の動機と目的

• ランダル・ホルムズによって導入されたクヴァインのニューオールドフォンダメンツ集合論の変種であるNFUBの正確な整合性の強さを特定すること。
• NFUBが既知の大基数公理の下で相対的に整合的であるかどうかを確立すること。
• 正確な等整合性を特定することで、代替的集合論と標準的集合論フレームワークの間のギャップを埋めること。
• NFUBの整合性が、冪集合公理を除いたZFCに弱いコンパクト基数が加わったものと正確に同等であるという決定的な証明を提供すること。

提案手法

• NFUBの証明論的強さを分析するために、数学的論理学および集合論の高度な技術を用いる。
• フォーシングと内部モデル理論の手法を用いて、NFUBを既知の大基数仮定と関連付ける。
• 冪集合公理を除いたZFCに弱いコンパクト基数が加わったモデル内にNFUBのモデルを構成する。
• NFUBの任意のモデルが、冪集合公理を除いたZFCに弱いコンパクト基数が加わったモデルに埋め込めることが示される。
• 整合性を保証するための必要な閉包性および反映性の性質を満たすために、弱いコンパクト基数の存在に依存する。
• 内部モデル理論の結果を応用して、NFUBの整合性がターゲット・システムの整合性を超過しないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クヴァインのニューオールドフォンダメンツの変種としてのNFUBの正確な整合性の強さは何か？
• RQ2 NFUBが既知の大基数仮定の下で整合的であることが示せるか？
• RQ3 NFUBの整合性の強さは、正確に冪集合公理を除いたZFCに弱いコンパクト基数が加わったものと等しいか？
• RQ4 弱いコンパクト基数の存在が、NFUBのモデルの構成をどのように可能にするか？
• RQ5 NFUBとターゲット・システムとの間の等整合性を確立するために必要な論理的技法は何か？

主な発見

• NFUBの整合性の強さは、正確に冪集合公理を除いたZFCに弱いコンパクト基数が加わったものと等しい。
• NFUBがこのシステムの下で整合的であることは、冪集合公理を除いたZFCに弱いコンパクト基数が加わったモデル内にNFUBのモデルを構成することで示された。
• 証明は正確な等整合性を確立しており、したがって、一方の体系が整合的であれば他方も整合的である。
• NFUBが非標準的集合論であるにもかかわらず、この結果は大基数仮定の文脈においてその強靭さを示している。
• 証明は、予備的ドラフトの形で完全かつ正当であるため、技術的厳密性が確保されている。
• この結果は、代替的集合論およびその整合性の強さに関する今後の研究の基盤的基準を提供する。