[論文レビュー] The constant objective value property for combinatorial optimization problems

Ante Ćustić, Bettina Klinz|arXiv (Cornell University)|May 19, 2014

Optimization and Packing Problems参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、すべての実行可能解が同一の目的関数値をとるという定数目的関数値性質（COVP）を有する組合せ最適化問題を特徴づける。軸方向および平面的d次元割り当て問題がCOVPを有するのは、その費用配列が和分解可能であるとき、かつそのときに限ることを示す。この結果は一般のd次元割り当て問題に拡張されず、同様の特徴づけが最小スパニングツリー、最短経路、および最小重み最大基数マッチング問題についても与えられる。

ABSTRACT

Given a combinatorial optimization problem, we aim at characterizing the set of all instances for which every feasible solution has the same objective value. Our central result deals with multi-dimensional assignment problems. We show that for the axial and for the planar $d$-dimensional assignment problem instances with constant objective value property are characterized by sum-decomposable arrays. We provide a counterexample to show that the result does not carry over to general $d$-dimensional assignment problems. Our result for the axial $d$-dimensional assignment problem can be shown to carry over to the axial $d$-dimensional transportation problem. Moreover, we obtain characterizations when the constant objective value property holds for the minimum spanning tree problem, the shortest path problem and the minimum weight maximum cardinality matching problem.

研究の動機と目的

• すべての実行可能解が同一の目的関数値をとる組合せ最適化インスタンスの集合を特徴づけること。
• COVPと許容可能な変換の関係、特に和目的関数の文脈においてそれを調査すること。
• 線形割り当て問題におけるCOVPの既知の結果を、高次元割り当ておよび輸送問題へと拡張すること。
• 和分解可能性が、すべての多次元割り当て問題においてCOVPインスタンスを完全に特徴づけるか否かを特定すること。
• 最小スパニングツリー、最短経路、最小重み最大基数マッチングといった古典的問題におけるCOVPの特徴づけを提供すること。

提案手法

• 与えられた費用ベクトルに対して、すべての実行可能解が同一の目的関数値をとるという条件としてCOVPを定義する。
• COVPと許容可能な変換の対応関係を用いて、問題を費用ベクトルの分解の観点から再定式化する。
• d次元ベクトルの和として表現可能な費用要素を有する、和行列の高次元への一般化としての和分解可能配列を導入する。
• 軸方向および平面的d次元割り当て問題がCOVPを有するのは、その費用配列が和分解可能であるとき、かつそのときに限ることを証明する。
• 一般のd次元割り当て問題において、和分解可能性がCOVPを特徴づけないことを示す反例を構成する。
• d次元割り当て問題の結果を活用して、軸方向d次元輸送問題におけるCOVPの特徴づけを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのクラスのd次元割り当て問題において、COVPが成立するのは費用配列が和分解可能であるとき、かつそのときに限るか？
• RQ2 和分解可能配列によるCOVPの特徴づけは、すべてのd次元割り当て問題に拡張可能か、それとも例外があるか？
• RQ3 辺の重みにどのような条件を課すと、有向グラフにおけるソースからシンクへのすべての経路が同一の総重みを持つようになるか（最短経路問題におけるCOVP）？
• RQ4 偶数次の完全グラフにおいて、すべての完全マッチングが同一の総重みを持つようになるための条件は何か（マッチング問題におけるCOVP）？
• RQ5 最小スパニングツリー問題におけるCOVPは、辺重み行列の構造的性質によって特徴づけられるか？

主な発見

• 軸方向および平面的d次元割り当て問題は、費用配列が和分解可能であるとき、かつそのときに限りCOVPを有する。
• 反例により、費用配列が和分解可能であっても、一般のd次元割り当て問題ではCOVPが成立しないことが示された。
• 軸方向d次元輸送問題におけるCOVPは、軸方向d次元割り当て問題と同一の和分解可能配列条件によって特徴づけられる。
• 有向グラフにおける最短経路問題では、COVPが成立するのは、辺重みが頂点ポテンシャルの差として表現可能なとき、かつそのときに限る：w(i,j) = a_j - a_i。
• 無向最短経路問題では、COVPが成立するのは、辺重みが頂点ポテンシャルの差として表現可能なとき、かつそのときに限る。
• 完全グラフにおける最小重み最大基数マッチング問題では、nが奇数の場合はすべての辺重みが等しくなければならない。nが偶数の場合は、ある実数ベクトルAに対してw(i,j) = a_i + a_jと表現可能でなければならない。