[論文レビュー] The constant of recognizability is computable for primitive morphisms

Fabien Durand, Julien Leroy|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2016

Computability, Logic, AI Algorithms被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、原始的自己準同型写像における認識可能性定数の計算可能な上界を確立する。任意の有限アルファベット A 上の非周期的原始的自己準同型写像 σ に対して、この定数は、アルファベットのサイズ |A| と最大像長 |σ| のみに依存する関数によって上から抑えられることを示している。この上界は、線形再帰性の性質、リターン語、およびインシデント行列の行列論的性質を用いて導出され、|σ| と |A| の明示的な計算可能な式として得られる。

ABSTRACT

Mossé proved that primitive morphisms are recognizable. In this paper we give a computable upper bound for the constant of recognizability of such a morphism. This bound can be expressed only using the cardinality of the alphabet and the length of the longest image under the morphism of a letter.

研究の動機と目的

• 原始的自己準同型写像における認識可能性定数の計算可能な上界を確立すること。
• 原始的自己準同型写像に対して認識可能性定数が有効に計算可能かどうかという未解決問題を解消すること。
• アルファベットのサイズと自己準同型写像の最大像長にのみ依存する一様な上界を提供すること。
• Mosséの認識可能性結果を拡張し、定数を明示的かつ計算可能なものとする。

提案手法

• 非周期的原始的自己準同型写像が認識可能であるという Mossé の定理を活用し、認識可能性定数の計算可能な上界を導出する。
• 線形再帰性の概念を用いて、固定点の言語に含まれる任意の因子に対する最大リターン語長を評価する。
• 自己準同型写像のインシデント行列を用い、原始的行列の性質を応用して、すべての因子が現れるまでのステップ数を制限する。
• 画像長の成長と異なる因子の数に関する再帰的推定を組み合わせて、上界を構築する。
• 主な要素には、最大画像長 |σ|、アルファベットサイズ d = |A|、および線形再帰定数 Kσ が含まれる。
• 最終的な上界は、Kσ、因子の数、およびリターン語長を含む不等式の連鎖から得られ、単一の明示的表現となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 原始的自己準同型写像の認識可能性定数は、有効に計算可能か？
• RQ2 内部的自己準同型写像パラメータの観点から、認識可能性定数の最もタイトな上界は何か？
• RQ3 原始的自己準同型写像の認識可能性性質は、固定点に依存しない一様で計算可能な上界を有するか？
• RQ4 |σ| と |A| のパラメータは、認識可能性定数の大きさにどのように影響するか？
• RQ5 原始的自己準同型写像の固定点における線形再帰構造を用いて、認識可能性に対する有効な上界を導出可能か？

主な発見

• 任意の非周期的原始的自己準同型写像 σ に対して、認識可能性定数は 2|σ|^{6d² + 6d|σ|^{28d²}} + |σ|^d 以下である。ここで d = |A| である。
• この上界は、アルファベットサイズ d と最大画像長 |σ| のみに依存しており、自己準同型写像の定義から完全に計算可能である。
• 固定点の線形再帰定数 Kσ は |σ|^{4d²} 以下に抑えられ、これがリターン語長の制御に用いられる。
• 長さ R までの異なる因子の数は KσR 以下に抑えられ、これは因子の配置の可能性の数の推定に用いられる。
• 最大リターン語長 R は 2|σ|^{6d²} 以下に抑えられ、これが最終的な上界に顕著に寄与する。
• 最終的な上界は、Kσ、R、および因子の数を含む複数の不等式の合成から得られ、単一の計算可能な式となる。