[論文レビュー] The constraining power of Coulomb Branch Geometry: lectures on Seiberg-Witten theory

Mario Martone|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2020

Physics of Superconductivity and Magnetism被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、Seiberg-Witten (SW)理論と特別ケーラー幾何学を用いて、Coulomb枝 (CB) 幾何学に基づく、4次元 ${\mathcal{N}}=2$ 超共形場理論の幾何的分類枠組みを提示する。CBの構造、特にその計量特異性と双対性が、非ラグランジュスのSCFTの分類を可能にすることを示しており、リーマン面上のヒチン系およびクラス-S理論による明示的構成が行われる。

ABSTRACT

The constraining mathematical structure of the Coulomb branch of four dimensional $\\mathcal{N}=2$ supersymmetric theories is discussed. The presentation follows a somewhat different route from other excellent reviews on the subject and it is geared towards using this tool to classify four dimensional $\\mathcal{N}=2$ superconformal field theories. This is the writeup of the lectures given at the Winter School "YRISW 2020" to appear in a special issue of JPhysA.

研究の動機と目的

• ${\mathcal{N}}=2$ 超共形場理論 (SCFT) の幾何的分類枠組みを構築すること、特に非ラグランジュスの理論を対象とする。
• Special Kahler幾何学によって支配される${\mathcal{N}}=2$理論におけるCoulomb枝 (CB) の構造が、可能な量子場理論に強い制約を課することを示すこと。
• Coulomb枝幾何学が一貫していること、特に計量特異性と双対性が、ラグランジュアン記述を必要としない量子場理論の存在を示唆できることを示すこと。
• 4次元${\mathcal{N}}=2$理論のCB幾何学を3次元に compactified した理論およびリーマン面上のヒチン系と関連づけ、SW曲線の明示的再構成を可能とすること。
• 特別ケーラー幾何学の形式を用いて、一様にスケーリング可能な1次元CB幾何学のすべての整合性を持つ形式を導出し、それらSCFTの完全な分類を得ること。

提案手法

• Coulomb枝のSeiberg-Witten (SW) 幾何学を主たるツールとし、そのケーラー構造と特別座標に注目する。
• CBを、ヘッセの計量を持つケーラー多様体およびプレポテンシャル関数を持つ特別ケーラー幾何学で特徴付ける。
• リーマン面 $\Sigma$ 上のヒチン系のスペクトル曲線から、関係式 $\lambda_{\rm SW} = xdz$ を通じてSW曲線と微分を導出する。
• 4次元理論を円に compactify して3次元 ${\mathcal{N}}=4$ 理論を得ることで、クラス-s理論のCB幾何学を構築し、ハイパーカイラーmoduli空間 $\mathcal{M}_{3d,\mathscr{C}}$ を得る。
• 3次元ハイパーカイラー空間から、特徴的な複素構造を特定し、全純シンプレクティック形式を抽出することで、4次元SW幾何学を再構成する。
• スケーリング議論を用いて、表3における許容可能なSW曲線を分類し、SW微分の $\mathbb{C}^*$ スケーリングと全純1形式の要件を満たすように制約を課す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次元${\mathcal{N}}=2$ 超共形場理論のCoulomb枝幾何学は、非ラグランジュスのSCFTを分類するためにどのように利用可能か？
• RQ2 特別ケーラー幾何学はCoulomb枝の構造にどのような幾何的制約を課し、それらが可能な場理論にどのように制限を加えるか？
• RQ3 3次元に compactified された理論から4次元Coulomb枝幾何学をどのように再構成できるか？また、ヒチン系はこの再構成において果たす役割は何か？
• RQ4 一様にスケーリング可能な1次元Coulomb枝幾何学の整合性のある形式は何か？また、SW曲線と微分を用いてどのように分類されるか？
• RQ5 電磁双対性およびCoulomb枝上の計量特異性は、低エネルギー有効理論におけるグローバルなラグランジュアン記述の欠如をどのように解消するか？

主な発見

• 4次元${\mathcal{N}}=2$ SCFTのCoulomb枝は特別ケーラー幾何学によって制約を受けており、ラグランジュアン記述を必要とせずにその理論の分類が可能である。
• 非ラグランジュスのSCFTは${\mathcal{N}}=2$ SCFTの空間を支配しており、その存在はCB幾何学の一貫性から純粋に推論可能である。
• SW微分 $\lambda_{\rm SW} = xdz$ は、$\Sigma$ が分岐被覆 $\Sigma \to \mathscr{C}$ 上のヒチン系の全純シンプレクティック形式から得られ、$\Sigma$ はスペクトル曲線 $\det(\phi(z)dz - xdz) = 0$ で定義される。
• 一様にスケーリング可能な1次元CB幾何学のすべての整合性のある形式は、許容可能なSW曲線の形によって分類され、$\mathbb{C}^*$ スケーリング対称性および $[a] = [a^D] = 1$ の要件によって制約を受ける。
• クラス-s理論において、SW曲線と微分は3次元に compactified された理論から明示的に再構成され、既知の結果と整合することが確認された。
• 本稿の検証により、表3のSW曲線はスケーリング対称性の下で唯一許容可能な可能性であり、$[u] = 2$ の場合にのみ $f(u) = u^m$ および $g(u) = u^\ell$ が非ゼロとなることが示された。