[論文レビュー] The construction of a general inner product in non-Hermitian quantum theory and some explanation for the nonuniqueness of the C operator in PT quantum mechanics

Frieder Kleefeld|ArXiv.org|Jun 4, 2009

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 2被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、ハミルトニアンの左固有ベクトルと右固有ベクトルの規格化が任意であることに起因する、PT対称量子力学における𝒞作用素の不一意性を解消する。適切に固有ベクトルの規格化を選べば、計量作用素（そしてしたがって𝒞作用素）をハミルトニアンのパラメータに依存しない一意な形にできる。特に2×2のPT対称行列モデルにおいてそのことが示される。

ABSTRACT

Most recently it has been observed e.g. by Bender and Klevansky (arXiv:0905.4673 [hep-th]) that the C-operator related to a PT-symmetric non-Hermitian Hamilton operator is not unique. Moreover it has been remarked by Shi and Sun (arXiv:0905.1771 [hep-th]) very recently that there seems to exist a well defined inner product in the context of the Hamilton operator of the PT-symmetric non-Hermitian Lee model yielding a different C-operator as compared to the one previously derived by Bender et al.. The puzzling observations of both manuscripts are reconciled and explained in the present manuscript as follows: the actual form of the metric operator (and the induced C-operator) related to some non-Hermitian Hamilton operator constructed along the lines of Shi and Su depends on the chosen normalization of the left and right eigenvectors of the Hamilton operator under consideration and is therefore ambiguous. For a specific PT-symmetric 2x2-matrix Hamilton operator it is shown that - by a suitable choice of the norm of its eigenvectors - the metric operator yielding a positive semi-definite inner product can be made even independent of the parameters of the considered Hamilton operator. This surprising feature makes in turn the obtained metric operator rather unique and attractive. For later convenience the metric operator for the Bosonic and Fermionic (anti)causal harmonic oscillator is derived.

研究の動機と目的

• ベンダー、クレヴァンスキー、シーシュンが報告した、PT対称量子力学における𝒞作用素の観察された不一意性を解消すること。
• 非エルミート的ハミルトニアンの左および右固有ベクトルの規格化の自由度が、𝒞作用素における曖昧さの原因であることを明確にすること。
• 2×2のPT対称行列モデルにおいて、特定の固有ベクトルの規格化を選択することで、パラメータに依存しない一意の計量作用素を構成できることを示すこと。
• ボソンおよびフェルミオンの（反）因果的調和振動子に対する計量作用素と正定値内積を導出し、場の理論的応用の基盤を築くこと。
• 明確に定義された内積を用いて、擬エルミート的および非エルミート的ハミルトニアンに基づく一貫性があり、ユニタリで因果的な量子理論を構築することを支援すること。

提案手法

• 擬エルミート的量子力学の枠組みに従い、パリティ作用素の平方根とユニタリ変換を含む相似変換を通じて計量作用素を構築する。
• 非エルミート的ハミルトニアンの左および右固有ベクトルを基底として計量を定義し、パラメータ依存性を排除するように規格化を選ぶ。
• 関係式 𝒞 = e^𝒬𝒫 を用いて計量作用素と𝒞作用素を結びつけ、正定値内積を保証する。
• 2×2行列モデルにおける計量作用素の構成を可能にするために、パリティ作用素𝒫を対角化し、その平方根√𝒫を計算する。
• （反）因果的調和振動子に対する計量作用素と内積を導出し、クライン＝ゴルドンおよびディラック場へ一般化する。
• 演算子の順序付けを適切に選ぶことで、ローレンツ不変性と再正則化可能性を保ち、物理的対称性を損なわないようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PT対称量子力学における𝒞作用素が不一意であるのはなぜか。その背後にある曖昧さの原因は何か。
• RQ2 ハミルトニアンの左および右固有ベクトルの規格化を固定することで、𝒞作用素の不一意性を解消できるか。
• RQ3 適切な固有ベクトルの規格化を選択することで、ハミルトニアンのパラメータに依存しない計量作用素を構成できるか。
• RQ4 ユニタリ時間発展を支持するように、非エルミート的ハミルトニアンに対して一貫性があり、正定値内積を定義する方法は何か。
• RQ5 演算子の順序付けと異常性は、計量作用素および𝒞作用素の構成にどのような役割を果たし、理論の物理的整合性にどのように影響するか。

主な発見

• 𝒞作用素の不一意性は、非エルミート的ハミルトニアンの左および右固有ベクトルの規格化の自由度に起因する。
• 2×2のPT対称行列ハミルトニアンにおいて、特定の固有ベクトルの規格化により、ハミルトニアンのパラメータに依存しない計量作用素が得られる。
• このパラメータに依存しない計量作用素は一意的であり、内積構成における任意の選択を排除するため、物理的応用において極めて魅力的である。
• ボソンおよびフェルミオンの（反）因果的調和振動子に対して、計量作用素と正定値内積が明示的に導出された。
• この構成法は場の理論へ一般化可能であり、非エルミート的ハミルトニアンに基づく因果的で局所的かつユニタリな量子理論の基盤を提供する。
• 結果はローレンツ不変性および再正則化可能性と整合しており、異常性が存在する場合でも、計量作用素の選択に依存しない。