[論文レビュー] The construction of good lattice rules and polynomial lattice rules

Dirk Nuyens|Lirias (KU Leuven)|Aug 16, 2013

Mathematical Approximation and Integration参考文献 50被引用数 30

ひとこと要約

本稿では、$\alpha$-減衰被積分関数を伴う重み付き関数空間において、良好な格子ルールおよび多項式格子ルールを統一的枠組みで構築する手法を提示する。成分別最適化（CBC）アルゴリズムを用いて、任意の $\epsilon>0$ に対して最適な収束率 $O(N^{-\alpha+\epsilon})$ を達成する。製品、順序依存、有限直径の重みなど、さまざまな重みタイプに対して、低メモリ・低計算コストの高速CBC構築法を確立し、次元依存性を制御可能な形で高次元積分を実現する。

ABSTRACT

A comprehensive overview of lattice rules and polynomial lattice rules is given for function spaces based on $\ell_p$ semi-norms. Good lattice rules and polynomial lattice rules are defined as those obtaining worst-case errors bounded by the optimal rate of convergence for the function space. The focus is on algebraic rates of convergence $O(N^{-α+ε})$ for $α\ge 1$ and any $ε> 0$, where $α$ is the decay of a series representation of the integrand function. The dependence of the implied constant on the dimension can be controlled by weights which determine the influence of the different dimensions. Different types of weights are discussed. The construction of good lattice rules, and polynomial lattice rules, can be done using the same method for all $1 < p \le \infty$; but the case $p=1$ is special from the construction point of view. For $1 < p \le \infty$ the component-by-component construction and its fast algorithm for different weighted function spaces is then discussed.

研究の動機と目的

• 重み付き関数空間に $\alpha$-減衰被積分関数を伴う良好な格子ルールおよび多項式格子ルールを統一的に構築するためのアプローチを開発すること。
• 任意の $\epsilon>0$ および $\alpha\geq1$ に対して、最悪誤差の最適バウンド $O(N^{-\alpha+\epsilon})$ を達成することにより、代数的収束率を保証すること。
• 座標の重要度を反映する構造的重み（製品、順序依存、有限直径など）を用いて、誤差の次元依存性を制御すること。
• 計算コストを最小限に抑えつつ、さまざまな重みタイプで高い精度を維持するスケーラブルな高速CBCアルゴリズムを設計すること。
• $1 < p \leq \infty$ に対してCBC手法の適用を拡張し、$p=1$ の特殊ケースを別途取り扱うことにより、広範な理論的・実用的有用性を確保すること。

提案手法

• 本稿では、重み付き関数空間における最悪誤差を最小化するように、格子ルールおよび多項式格子ルールの生成ベクトルを逐次的に選択する成分別最適化（CBC）構築法を用いる。
• $1 < p \leq \infty$ の場合、$\ell_p$-セミノルムおよび重み付き再生核ヒルベルト空間の構造を活用して、さまざまな重み付き関数空間に一様に適用可能なCBC法を適用する。
• 高速CBCアルゴリズムにより、計算コストを $O(N^2)$ から $O(s|G|\log|G| + sTN)$ に削減する。ここで $T$ は重みタイプに依存し、$|G|$ は生成集合のサイズを表す。
• 製品、順序依存、POD、SPOD、有限直径の重み構造を効率的に処理するため、重み付きフーリエ係数の部分和を効率的に更新する。
• 有限直径重みの場合、指数的次元依存性を考慮してもメモリ効率を保つために、$O(2^{q-1}N)$ 個のベクトルのみを保持し、効率的なインデックススワップを用いて更新を高速化する。
• 理論的分析により、構築されたルールが任意の $\epsilon>0$ に対して最適な収束率 $O(N^{-\alpha+\epsilon})$ を達成することが保証される。重みによって定まる定数の制御も可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにすれば、$\alpha \geq 1$ および任意の $\epsilon > 0$ に対して、最適な収束率 $O(N^{-\alpha+\epsilon})$ を達成する良好な格子ルールおよび多項式格子ルールを体系的に構築できるか？
• RQ2 さまざまな重み構造におけるCBC構築の計算コストとメモリ使用量は何か？ そして、それらをどのように最小化できるか？
• RQ3 なぜ $p=1$ の場合、$1 < p \leq \infty$ と比較して格子ルール構築において特別な扱いが必要となるのか？
• RQ4 同じアルゴリズムフレームワークを用いて、すべての $1 < p \leq \infty$ に対して重み付き関数空間における $\ell_p$-セミノルムを伴うCBC法を一様に適用可能か？
• RQ5 製品、順序依存、有限直径の重みタイプは、CBC構築の効率性およびスケーラビリティにどのように影響を与えるか？

主な発見

• 高速CBCアルゴリズムは、$O(s|G|\log|G| + sTN)$ の時間計算量と $O(T)$ のメモリ使用量を達成する。ここで $T$ は重みタイプに依存し、製品重みでは $T=1$、順序依存およびPOD重みでは $T=s$、有限順序依存重みでは $T=q^*$、有限直径重み（直径 $q$）では $T=2^{q-1}$ となる。
• 有限直径重み（直径 $q$）の場合、メモリコストは $O(2^{q-1}N)$、更新コストも $O(2^{q-1}N)$ であり、効率的なインデックススワップにより性能を維持する。
• 本手法により、構築された格子ルールおよび多項式格子ルールの最悪誤差は、任意の $\epsilon > 0$ に対して $O(N^{-\alpha+\epsilon})$ で有界であることが保証され、対応する関数空間における最適収束率と一致する。
• 成分別最適化構築法は、すべての $1 < p \leq \infty$ に同じアルゴリズムフレームワークで適用可能であるが、$p=1$ はノルムの構造的差異のため別途処理が必要である。
• 高次多項式格子ルールの場合、コストは $O(N^\alpha s \log N)$ に比例するが、最近の進展によりインターリースト構築によりこれを軽減可能である。
• 高速CBCアルゴリズムおよび点集合生成器のMatlab実装が公開されており、高次元数値積分タスクにおける実用的導入を支援する。