[論文レビュー] The Construction of Quantum Field Operators: Something of Interest

Valeri V. Dvoeglazov|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2010

Quantum and Classical Electrodynamics参考文献 28被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、スピン1/2およびスピン1粒子の量子場演算子を構築する際の基礎的問題、特に相対論的波動方程式における負エネルギー解と因果的でない振る舞いに焦点を当てる。ウィグナーのローレンツ群表現とライダーのスピンルール関係を再検討することで、標準的な場演算子の構築に一貫性の欠如が生じることを特定した。特に、$(1/2,0)\oplus(0,1/2)$表現において、Fock空間の修正や複数の場演算子の導入が一貫性を保つために必要となる可能性がある。

ABSTRACT

We draw attention to some tune problems in constructions of the quantum-field operators for spins 1/2 and 1. They are related to the existence of negative-energy and acausal solutions of relativistic wave equations. Particular attention is paid to the chiral theories, and to the method of the Lorentz boosts.

研究の動機と目的

• 相対論的粒子（スピン1/2および1）の量子場演算子の構築における未解決の基礎的問題を解決すること。
• 相対論的波動方程式における負エネルギー解および因果的でない解の起源とその意味を調査すること。
• 運動量空間におけるデルタ関数正規化スピンルールに適用されるローレンツブースト変換の整合性を分析すること。
• 特に電荷共役および正規化に関して、$(1/2,0)\oplus(0,1/2)$表現における標準的場演算子展開の妥当性を評価すること。

提案手法

• ウィグナーのローレンツ群表現を用いて、$(S,0)$および$(0,S)$スピンルールに基づきディラック方程式を再構築し、ブースト変換を$\Lambda_{R,L}({\bf p} \leftarrow {\bf 0}) = \exp(\pm {\bf S} \cdot {\bf \varphi})$で適用する。
• ライダーの関係式$\phi_L^h({\bf 0}) = \hat{A}\phi_L^{-h*}({\bf 0}) + \hat{B}\phi_L^{h*}({\bf 0})$を適用し、バール方程式を導出し、第二質量状態を検討する。
• 標準的場演算子展開$\Psi(x) = \sum_\sigma \int \frac{d^3{\bf p}}{2E_p} [u_\sigma({\bf p})a_\sigma({\bf p})e^{-ip\cdot x} + v_\sigma({\bf p})b_\sigma^\dagger({\bf p})e^{+ip\cdot x}]$を出発点とする。
• 電荷共役および正規化条件を分析し、$\bar{u}_\mu(k)u_\lambda(k) = +m\delta_{\mu\lambda}$および$\bar{v}_\mu(k)v_\lambda(k) = -m\delta_{\mu\lambda}$を導出する。
• $\Lambda_{\mu\lambda}(k) = \bar{v}_\mu(k)u_\lambda(-k)$から、$b_\mu^\dagger(k) = i({\bf \sigma} \cdot {\bf n})_{\mu\lambda}a_\lambda(-k)$の関係を導出し、$(1/2,0)\oplus(0,1/2)$ケースにおける自己整合性を示す。
• $(1/2,0)\oplus(0,1/2)$および$(1,0)\oplus(0,1)$表現における場演算子の構築を比較し、標準的場の量子化を適用した際に、前者に不整合が生じることを明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜスピン1/2粒子の標準的場演算子構築は、ディラック方程式において負エネルギー解および因果的でない解を生じるのか？
• RQ2 ボゴリューボフの手法で用いられる運動量空間におけるデルタ関数正規化スピンルールにローレンツブーストを適用する際の整合性はいかほどか？
• RQ3 関係式$\phi_L^h({\bf 0}) = \hat{A}\phi_L^{-h*}({\bf 0}) + \hat{B}\phi_L^{h*}({\bf 0})$は、場演算子の構造にどのような意味を持つのか？
• RQ4 なぜ$(1/2,0)\oplus(0,1/2)$表現における場演算子は、$b_\sigma^\dagger(k)$を$a_\lambda(-k)$で定義しようとする試みにおいて、不整合な交換関係を生じるのか？
• RQ5 $(1,0)\oplus(0,1)$表現において、左巻き成分と右巻き成分を両方含む標準的場演算子構築を一貫して一般化できるか？

主な発見

• $(1/2,0)\oplus(0,1/2)$表現における標準的場演算子構築では、$\Lambda_{\mu\lambda}(k) = \bar{v}_\mu(k)u_\lambda(-k)$を用いて$b_\sigma^\dagger(k)$を定義しようとする試みにおいて、不整合な関係が生じる。具体的には、$b_\mu^\dagger(k) = i({\bf \sigma} \cdot {\bf n})_{\mu\lambda}a_\lambda(-k)$が得られる。
• 正規化条件$\bar{u}_\mu(k)u_\lambda(k) = +m\delta_{\mu\lambda}$および$\bar{v}_\mu(k)v_\lambda(k) = -m\delta_{\mu\lambda}$は、導出された$b_\mu^\dagger(k)$関係と整合的である。
• $(1,0)\oplus(0,1)$表現では、関係式$a_\mu(k) = [1 - 2({\bf S} \cdot {\bf n})^2]_{\mu\lambda}a_\lambda(-k)$が、追加の仮定なしには場演算子を一貫して定義できないことを示唆している。
• 場演算子展開$\sum_\lambda \epsilon_\mu(-k,\lambda)a_\lambda(-k) = \sum_\lambda \epsilon_\mu^*(k,\lambda)b_\lambda^\dagger(k)$は、$(1/2,0)\oplus(0,1/2)$ケースにおいて不整合な符号構造を生じさせ、Fock空間の修正が望ましい可能性を示唆している。
• ボゴリューボフの手法で$\delta(k_0 - m)$を用い、その後$\delta(k^2 - m^2)$に手動で置き換える方法は、ローレンツブーストの下で正当な根拠を欠いていることが示された。
• 本論文は、特に$(1/2,0)\oplus(0,1/2)$表現における場演算子構築の未解決問題が、一般化された量子場理論や複数の場演算子の導入を必要としていることを結論づけている。