[論文レビュー] The continuous Anderson hamiltonian in dimension two

Romain Allez, Khalil Chouk|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2015

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 11被引用数 56

ひとこと要約

本稿は、2次元トーラス $\mathbb{T}^2$ 上の連続アンダーソンハミルトニアン $\mathscr{H} = -\Delta + \xi$ の厳密な構成を確立する。ここで $\xi$ は特異的ガウス白色ノイズポテンシャルである。パラコントロールド分布を用いて、$\mathscr{H}$ が離散的で実数固有値を持つ、有界でない自己共役作用素として適切に定義されることを証明し、正規化された滑らかな近似に対してリゾルベント収束が成り立つことを示す。さらに、大きなトーラス $\mathbb{T}_L^2$ における基底状態固有値の指数的尾部バウンドおよび $\log L$ のオーダーの大きさを導出する。主な貢献は、$d=2$ における特異的連続アンダーソンハミルトニアンのスペクトル理論をパラコントロールド計算によって得ることである。

ABSTRACT

We define the Anderson hamiltonian on the two dimensional torus $\mathbb R^2/\mathbb Z^2$. This operator is formally defined as $\mathscr H:= -Δ+ ξ$ where $Δ$ is the Laplacian operator and where $ξ$ belongs to a general class of singular potential which includes the Gaussian white noise distribution. We use the notion of paracontrolled distribution as introduced by Gubinelli, Imkeller and Perkowski in [14]. We are able to define the Schrödinger operator $\mathscr H$ as an unbounded self-adjoint operator on $L^2(\mathbb T^2)$ and we prove that its real spectrum is discrete with no accumulation points for a general class of singular potential $ξ$. We also establish that the spectrum is a continuous function of a sort of enhancement $Ξ(ξ)$ of the potential $ξ$. As an application, we prove that a correctly renormalized smooth approximations $\mathscr H_\varepsilon:= -Δ+ ξ_\varepsilon+c_\varepsilon$ (where $ξ_\varepsilon$ is a smooth mollification of the Gaussian white noise $ξ$ and $c_\varepsilon$ an explicit diverging renormalization constant) converge in the sense of the resolvent towards the singular operator $\mathscr H$. In the case of a Gaussian white noise $ξ$, we obtain exponential tail bounds for the minimal eigenvalue (sometimes called ground state) of the operator $\mathscr H$ as well as its order of magnitude $\log L$ when the operator is considered on a large box $\mathbb T_L:= \mathbb R^2/(L\mathbb Z)^2$ with $L o \infty$.

研究の動機と目的

• 2次元トーラス $\mathbb{T}^2$ 上で、特異的ガウス白色ノイズポテンシャル $\xi$ の場合に、アンダーソンハミルトニアン $\mathscr{H} = -\Delta + \xi$ を定義すること。
• $\mathscr{H}$ が $L^2(\mathbb{T}^2)$ 上で有界でない自己共役作用素として適切に定義され、離散的で実数固有値を持つことの確立。
• $\mathscr{H}$ の固有値がポテンシャル $\xi$ の正規化された強化 $\Xi(\xi)$ の連続関数として依存することの証明。
• $\mathscr{H}_\varepsilon = -\Delta + \xi_\varepsilon + c_\varepsilon$ という正規化された滑らかな近似に対して、$\varepsilon \to 0$ のときリゾルベントが $\mathscr{H}$ に収束することの証明。

提案手法

• 2次元において古典的手法が失敗する中で、白 Noise ポテンシャル $\xi$ の特異性を扱うためにパラコントロールド分布を用いる。
• 不規則性を持つ $\xi$ に対しても適切に定義されるように、パラコントロールド分布の空間上でシュレーディンガー作用素 $\mathscr{H}$ を定義する。
• 非線形相互作用を制御するためにボニーのパラプロダクト分解およびベゾフ空間の推定を適用する。
• $\xi$ の滑らかな近似 $\xi_\varepsilon$ の発散を相殺するために、発散する定数 $c_\varepsilon$ を含む正規化手順を導入し、収束を可能にする。
• リリッヒ＝コンドラチョフのコンパクト埋め込み定理を用いて、ソボレフ空間内でのスペクトルの離散性および収束を確立する。
• 交換子推定およびパラコントロールド計算を用いて、積 $X \circ \sigma(D)X$ 及びそれが $\mathscr{C}^{2\alpha+2}$ 内で $-V^2$ に収束することを制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ガウス白色ノイズ分布としての $\xi$ に対して、$L^2(\mathbb{T}^2)$ 上で有界でない自己共役作用素として、アンダーソンハミルトニアン $\mathscr{H} = -\Delta + \xi$ が厳密に定義可能か？
• RQ2 $\xi$ が特異的であるにもかかわらず、2次元において $\mathscr{H}$ の固有値は離散的か？
• RQ3 $\varepsilon \to 0$ のとき、正規化された滑らかな近似 $\mathscr{H}_\varepsilon$ のリゾルベントが $\mathscr{H}$ に収束するか？
• RQ4 大きなトーラス $\mathbb{T}_L^2$ における $\mathscr{H}$ の最小固有値（基底状態）の漸近的挙動は、$L \to \infty$ のときどのように振る舞うか？

主な発見

• 一般に特異なポテンシャル $\xi$（ガウス白色ノイズを含む）に対して、$L^2(\mathbb{T}^2)$ 上で有界でない自己共役作用素として、アンダーソンハミルトニアン $\mathscr{H} = -\Delta + \xi$ が適切に定義可能である。
• $\xi$ が分布的であり、$\Delta$ が有界でないにもかかわらず、$\mathscr{H}$ の固有値は離散的で、蓄積点を持たない。
• $\mathscr{H}$ の固有値は、ポテンシャル $\xi$ の正規化された強化 $\Xi(\xi)$ に対して連続的依存するため、微小な摂動に対しても安定である。
• 正規化された滑らかな近似 $\mathscr{H}_\varepsilon = -\Delta + \xi_\varepsilon + c_\varepsilon$ のリゾルベントは、$\varepsilon \to 0$ のとき $\mathscr{H}$ に収束し、$c_\varepsilon$ は明示的に決定可能である。
• ガウス白色ノイズの場合、$\mathbb{T}_L^2$ 上の最小固有値 $\lambda_1(L)$ は $L \to \infty$ のとき $\lambda_1(L) \sim \log L$ を満たし、そのフラクチュエーションに対して指数的尾部バウンドが成り立つ。
• パラコントロールド分布の空間により、$d=2$ における $\mathscr{H}$ の構成とスペクトルの離散性の証明が可能となり、$\xi$ の粗さのため古典的手法が失敗する状況を克服できる。