[論文レビュー] The continuum limit of the Bell model

Samuel Colin|ArXiv.org|Jan 22, 2003

Opinion Dynamics and Social Influence参考文献 1被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、宇宙が有限個の負電荷を有する満たされた陽電子海から生じる物理状態にあるという仮定の下で、ジョン・スティーブン・ベルのフェルミオン量子場理論の確率的スケルトン模型が連続体理論に収束することを示している。モデルではフェルミオン数密度をベイブル（beable）として特定し、連続体極限において負電荷の速度則がボーム力学における相対論的フェルミオンと類似しており、ベルの決定論的理論への予想を裏付けている。

ABSTRACT

In a paper entitled Beables for Quantum Field Theory, John Bell has shown that it was possible to build a realistic interpretation of any hamiltonian lattice quantum field theory involving Fermi fields. His model is stochastic but Bell thought that it would become deterministic in the continuum limit. We show that it is indeed the case, under an assumption about the state of the universe, namely that the universe is in a state obtained from the positronic sea (all positron states occupied) by creating a finite number of negative charges. Moreover, the continuum model can be established directly. The physical interpretation is the following: the negative charges are in motion in the positronic sea and their positions are the beables of the Bell model.

研究の動機と目的

• 連続体極限におけるフェルミオン量子場理論の現実的で決定論的な解釈を確立し、ベルの格子模型を拡張する。
• ド・ブロイ＝ボーム理論における粒子位置とは異なる、フェルミオンのベイブルを定義する課題を解決する。
• 格子上のステガードフェルミオンに対するベルの確率的模型が、宇宙の状態に関する自然な物理的仮定の下で連続体極限において決定論的理論に収束することを示す。
• 陽電子海内の負電荷の速度則を、相対論的ボーム力学と整合する形で導出する。
• 波動関数とフォック空間形式主義が連続体極限でも保持されることを示し、非相対論的量子力学に類似した計算が可能になること。

提案手法

• モデルは空間格子を用いてフェルミオン数密度演算子 $ F(l) = \sum_{a=1}^4 \psi_a^\dagger(l)\psi_a(l) $ を定義し、固有状態は各サイトにおけるフェルミオン数の明確な配置を表す。
• 確率的遷移率 $ T_{nm}(t) $ が配置 $ m $ と $ n $ 間の遷移を支配し、確率分布 $ P_m(t) $ がシュレーディンガー方程式に従ってボーン則と一致するようにする。
• 連続体極限は格子間隔をゼロにスケーリングすることで取り入れられ、宇宙が有限個の負電荷を有する満たされた陽電子海の状態にあると仮定する。
• 負電荷の速度則は確率的力学から導出し、それがボームの第一量子化相対論的フェルミオン理論におけるものと類似した決定論的式に収束することを示す。
• 解析は最初に1次元格子で行われ、その後3次元に拡張され、主要な結果としてハミルトニアンと連続の式が連続体で一貫していること。
• 非局所性は2フェルミオン系の最も簡単な場合に明示的に示され、決定論的であるがゆえに非局所的であることが確認される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベルのフェルミオン量子場理論の確率的格子模型が連続体極限で決定論的になるか。
• RQ2 どの物理的状態の仮定が確率的ベル模型を決定論的理論に収束可能にするか。
• RQ3 陽電子海内の負電荷の速度則が、相対論的ボーム力学から得られた既知の結果と一致するか。
• RQ4 フォック空間形式主義が連続体極限でも保持され、非相対論的量子力学に類似した波動関数に基づく計算が可能か。
• RQ5 非局所性は連続体モデルにおいてどのように現れるか、特に2フェルミオン系において。

主な発見

• 格子上のステガードフェルミオンに対するベルの確率的模型は、宇宙が有限個の負電荷を有する満たされた陽電子海から作られた状態にあるという仮定の下で、連続体極限において決定論的理論に収束する。
• 連続体極限における負電荷の速度則は、ボームらが第一量子化で自由な相対論的フェルミオンに対して導出したものと数学的に同等である。
• フェルミオン数密度演算子 $ F(l) $ がベイブルを構成し、その固有状態は各時刻における宇宙の明確な物理的配置を表す。
• モデルは連続体極限でもボーン則と一貫しており、確率分布 $ P_m(t) $ はシュレーディンガー方程式に従って進化する。
• 2フェルミオン系において非局所性が明示的に示され、ド・ブロイ＝ボーム型理論が予想されるように、モデルは非局所的であることが確認された。
• コンmutator $ [\psi_a^\dagger(\vec{x})\psi_a(\vec{x}), N] $ はゼロでないため、フェルミオン数密度が全粒子数演算子と可換でないことが示され、連続体極限においても同様である。