[論文レビュー] The contour of splitting trees is a Lévy process

Amaury Lambert|Apr 24, 2007

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 15被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、個体が一定レートで繁殖し、一般の寿命分布をとる分裂木の輪郭過程—出生時刻と寿命のポアソン点過程でモデル化された出生メカニズムをとる場合—が、輪郭過程がレヴィ過程であることを確立する。主な貢献は、このような分岐過程の系統的構造をレヴィ過程を用いて新たな表現することであり、これにより分岐過程、共析過程、極限定理に関する新しい証明と洞察が得られる。

ABSTRACT

Splitting trees are those random trees where individuals give birth at constant rate during a lifetime with general distribution, to i.i.d. copies of themselves. The width process of a splitting tree is then a binary, homogeneous Crump--Mode--Jagers (CMJ) process, and is not Markovian unless the lifetime distribution is exponential. Here, we allow the birth rate to be infinite, that is, pairs of birth times and lifespans of newborns form a Poisson point process along the lifetime of their mother, with possibly infinite intensity measure. A splitting tree is a random (so-called) chronological tree. Each element of a chronological tree is a (so-called) existence point $(v,τ)$ of some individual $v$ (vertex) in a discrete tree, where $τ$ is a nonnegative real number called chronological level (time). We introduce a total order on existence points, called linear order, and a mapping $φ$ from the tree into the real line which preserves this order. The inverse of $φ$ is called the exploration process, and the projection of this inverse on chronological levels the contour process. For splitting trees truncated up to level $τ$, we prove that thus defined contour process is a Lévy process reflected below $τ$ and killed upon hitting 0. This allows to derive properties of (i) splitting trees: conceptual proof of Le Gall--Le Jan's theorem in the finite variation case, exceptional points, coalescent point process, age distribution; (ii) CMJ processes: one-dimensional marginals, conditionings, limit theorems, asymptotic numbers of individuals with infinite vs finite descendances.

研究の動機と目的

• 分裂木の輪郭過程とレヴィ過程の間の関係を確立し、分岐過程理論における既知の結果を拡張すること。
• レヴィ過程としての輪郭過程を用いて、Le Gall–Le Janの定理の有限変動ケースについて概念的でパスワイズな証明を提供すること。
• 固定された歴史的時刻に生き残っている個体の分布、特に年齢分布、共析レベル、および特異点を分析すること。
• CMJ過程における極限定理および漸近的挙動を導出すること、特に有限と無限の系統を持つ個体の割合について。
• 連続状態分岐過程およびその系統的符号化がレヴィ過程を用いてなされる既存の結果を統一的かつ再解釈すること。

提案手法

• 一般のレヴィ測度 $\Lambda$ を持つ $(0,\infty]$ 上のポアソン点過程を用いて、出生時刻と寿命のペアによる分裂木を定義する。これにより、無限個の子孫が生じ得る。
• 頂点 $v$ と歴史的時刻 $\tau$ の組 $(v,\tau)$ に対する存在点に線形順序を導入し、木から $\mathbb{R}$ への探索過程 $\varphi$ を定義する。
• 輪郭過程 $X_s$ を $\varphi$ の逆関数を歴史的レベルに射影したものとして定義し、木の寿命を歴史的順序でトレースする。
• 木が時刻 $\tau$ で切断された場合、輪郭過程 $X_s$ が $\tau$ 以下の部分で反射され、0 に到達すると殺されるとするレヴィ過程であることを証明する。
• ポアソン点過程の強マルコフ性と補償公式を用いて、時刻 $\tau$ における全個体数の分布を計算する。
• スケール関数と指数的測度変換の技術を用いて、個体数の極限分布および無限系統を持つ個体の割合を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の寿命分布をもつ分裂木の輪郭過程はレヴィ過程か？
• RQ2 CMJ過程の系統的構造は、パスワイズかつ構成的手段でレヴィ過程によって符号化可能か？
• RQ3 過剰分岐分裂木において、有限と無限の系統を持つ個体数の極限分布は何か？
• RQ4 輪郭過程は、固定時刻 $\tau$ に生き残っている個体の年齢分布および共析構造をどのように反映するか？
• RQ5 Le Gall–Le Janの共析点過程に関する定理は、レヴィ過程としての輪郭過程を用いて再導出可能か？

主な発見

• 木が歴史的時刻 $\tau$ で切断された場合、分裂木の輪郭過程は $\tau$ 以下の部分で反射され、0 に到達すると殺されるとするレヴィ過程である。
• 非絶滅条件下で全個体数 $\Xi_\tau$ は幾何確率 $\exp(-b\tau)$ をもつ幾何確率変数に分布収束する（純出生ケース）。
• 指数分布寿命をもつ出生・死亡ケースでは、非絶滅条件下での個体数分布は成功確率 $(d - b)/(d - b e^{(b-d)\tau})$ の幾何分布に従い、$\tau \to \infty$ のとき $d/b$ に収束する。
• 過剰分岐ケースにおいて、無限系統を持つ個体の割合は確率的に $d/b$ に収束する。また、その個体数はレート $b - d$ のユーグル過程に従って変化する。
• 全個体数 $\Xi_\tau$ の分布はヤグロム型極限定理を満たし、$e^{-\eta\tau}\Xi_\tau$ は分布収束して $\mathbb{E}[\xi] = 1$ を満たす確率変数 $\xi$ に収束する。
• 典型的な個体が無限系統を持つ確率 $p_\tau = \mathbb{E}[1 - e^{-\eta R_\tau}]$ は $1 - \psi'(\eta)$ に収束する。ここで $\psi$ はレヴィ過程のラプラス指数である。