[論文レビュー] The Control Complexity of $r$-Approval: from the Single-Peaked Case to the General Case

Yongjie Yang, Jiong Guo|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 21被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、各選挙人の好みが高々 $\mathfrak{k}$ 個のピークを持つ $\mathfrak{k}$-ピーク選挙における $r$-承認投票制度における構成的コントロールの計算複雑性を調査する。$\mathfrak{k} = 2$ または $\mathfrak{k} = 3$ であっても、大多数のコントロール問題が NP-完全であることを示している。一方で、$\mathfrak{k} = 2$ の場合、多項式時間で解ける問題が存在し、解のサイズに関して固定パラメータ可 tractability と W[1]-hardness の結果も得られている。これらの結果は、承認投票および誠実戦略に基づく承認投票（SP-AV）へと拡張可能である。加えて、最大次数 3 のグラフに対する 2 インターバル表現と、一般化された $r$-集合パッキング問題に対する FPT アルゴリズムという二つの独立した副産物も得られている。

ABSTRACT

We investigate the complexity of $r$-Approval control problems in $k$-peaked elections, where at most $k$ peaks are allowed in each vote with respect to an order of the candidates. We show that most NP-hardness results in general elections also hold in k-peaked elections even for $k=2,3$. On the other hand, we derive polynomial-time algorithms for some problems for $k=2$. All our NP-hardness results apply to Approval and sincere-strategy preference-based Approval as well. Our study leads to many dichotomy results for the problems considered in this paper, with respect to the values of $k$ and $r$. In addition, we study $r$-Approval control problems from the viewpoint of parameterized complexity and achieve both fixed-parameter tractability results and W-hardness results, with respect to the solution size. Along the way exploring the complexity of control problems, we obtain two byproducts which are of independent interest. First, we prove that every graph of maximum degree 3 admits a specific 2-interval representation where every 2-interval corresponding to a vertex contains a trivial interval and, moreover, 2-intervals may only intersect at the endpoints of the intervals. Second, we develop a fixed-parameter tractable algorithm for a generalized $r$-Set Packing problem with respect to the solution size, where each element in the given universal set is allowed to occur in more than one r-subset in the solution.

研究の動機と目的

• $r$-承認投票における $\mathfrak{k}$-ピーク選好の下での構成的コントロールの複雑性を分析すること。
• $\mathfrak{k}$（ピーク数）と $r$（承認候補数）というパラメータに基づいて、解ける問題と解けない問題の境界を特定すること。
• 解のサイズに関して、制御問題のパラメータ化された複雑性を検討し、固定パラメータ可 tractability と W[1]-hardness を確立すること。
• 承認投票および誠実戦略に基づく承認投票（SP-AV）への結果の拡張を行い、NP-完全性が広く成立することを示すこと。
• 二つの独立した副産物を導出すること：最大次数 3 のグラフに対する 2 インターバル表現、および一般化された $r$-集合パッキング問題に対する FPT アルゴリズム。

提案手法

• $\mathfrak{k} = 3$ の $\mathfrak{k}$-ピーク選挙における候補削除によるコントロールの NP-完全性を示すために、独立集合問題への還元を実施。
• 候補の順序付けを定義するための 3-調和的順序 $\mathcal{L}$ を構築し、$\mathcal{L}$ に関してすべての投票が 3-ピークとなるようにする。
• 獲得集合還元における辺と頂点の制約を模倣するように、特定の承認パターンを持つ投票マルチセットを設計。
• 決定的候補 $p$ が勝つために頂点集合 $V$ から $\kappa$ 個の候補を削除することが必要かつ十分であることを証明し、解のサイズと独立集合のサイズを関連付ける。
• 要素が解内の複数の $r$-部分集合に現れることが許容される一般化された $r$-集合パッキング問題に対する固定パラメータ可 tractable アルゴリズムを開発。
• 最大次数 3 のグラフに対して、各 2 インターバルが自明なインターバルを含み、交差が端点でのみ発生する 2 インターバル表現を確立。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathfrak{k}$ と $r$ がどのような値の組み合わせの場合に、$\mathfrak{k}$-ピーク選挙における $r$-承認投票の構成的コントロールが NP-完全になるか？
• RQ2 $\mathfrak{k} = 2$ のような小さな $\mathfrak{k}$ に対して、$\mathfrak{k}$-ピーク選挙における構成的コントロール問題は多項式時間で解けるか？
• RQ3 解のサイズに関して、一般および $\mathfrak{k}$-ピーク選挙における $r$-承認投票の制御問題のパラメータ化された複雑性は何か？
• RQ4 $\mathfrak{k}$-ピーク選好下での承認投票および SP-AV 投票制度において、NP-完全性の結果は拡張可能か？
• RQ5 $\mathfrak{k}$-ピーク選挙の構造的性質を活用して、一般化された $r$-集合パッキング問題のような新たなアルゴリズム的結果を導出可能か？

主な発見

• $\mathfrak{k} = 2$ または $\mathfrak{k} = 3$ であっても、$r$-承認投票における大多数の構成的コントロール問題が NP-完全であることを示し、$\mathfrak{k}$-ピーク性が一般にコントロール複雑性を単純化しないことを示している。
• $\mathfrak{k} = 2$ の場合、いくつかのコントロール問題が多項式時間アルゴリズムを有するため、$\mathfrak{k} = 2$ と $\mathfrak{k} \geq 3$ の間で二分岐が成立する。
• すべての最大次数 3 のグラフが、各 2 インターバルが自明なインターバルを含み、交差が端点でのみ発生する 2 インターバル表現を持つことを証明した。
• 要素が解内の複数の $r$-部分集合に現れることが許容される一般化された $r$-集合パッキング問題に対して、解のサイズをパラメータとする FPT アルゴリズムを開発した。
• すべての NP-完全性の結果が承認投票および誠実戦略に基づく承認投票（SP-AV）へと拡張可能であり、$\mathfrak{k}$-ピーク設定における広範な不計算可能性を示している。
• $\mathfrak{k}$ と $r$ に基づくコントロール複雑性の二分岐が明らかになった。$\mathfrak{k} = 2$ およびさまざまな $r$ に対して、解ける問題が出現する。