[論文レビュー] The Controllability of Infinite Quantum Systems and Closed Subspace Criteria

Anthony M. Bloch, R. Brockett+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2006

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、有限次元のリー群手法を超えて、微分幾何学的制御理論を無限次元量子系へ拡張する。特定の部分空間内での制御制約を分析することで、多準位原子と調和振動子が結合するような系において、精密なリー代数的および関数解析的技法を用いて制御可能性が達成可能であることを示している。

ABSTRACT

Quantum phenomena of interest in connection with quantum computation and communication often deal with transfers between eigenstates, and their linear superpositions. For systems having only a finite number of states, the quantum evolution equation (the Schr\\"{o}dinger equation) is finite-dimensional and the results on controllability on Lie groups as worked out decades ago \\cite{Brockett1972} provide most of what is needed insofar as controllability of non-dissipative systems is concerned. However, for infinite-dimensional evolution of quantum systems, many difficulties, both conceptual and technical, remain. In this paper we discuss some recent results from the physics literature in control-theoretic terms and describe the type of analysis needed to go beyond what basic differential geometry can provide. In particular, we analyze the problem of controllability of infinite-dimensional quantum systems subject to the constraint that the trajectories must lie in pre-defined subspaces. Our key example is a quantum multi-level system coupled with a quantum harmonic oscillator. We show that it is possible to extend geometric notions of controllability beyond finite dimensions.

研究の動機と目的

• 無限次元量子系における体系的制御理論フレームワークの欠如に応えること。
• 系の軌道が特定の部分空間に制限される場合に、制御可能性がどのように保たれるかを調査すること。
• 微分幾何学と無限次元における量子制御のギャップを、新たな解析的手法を導入することで埋めること。
• 調和振動子を含む無限自由度を持つ量子系における制御可能性の厳密な基礎を提供すること。

提案手法

• ヒルベルト空間設定に適合したリー代数的構造を用いて、無限次元量子系における制御可能性を形式化すること。
• 無限次元空間における制御ハミルトニアンが生成するリー代数の閉包を分析するために、関数解析的手法を適用すること。
• 与えられた部分空間がシステムダイナミクス下で完全な制御可能性を支持するかどうかを判定するための閉部分空間基準を導入すること。
• 多準位系と調和振動子が結合するような物理的制御状況を、ヒルベルト空間の部分多様体上の幾何的制御問題に翻訳すること。
• スペクトル理論および作用素論的手法を用いて、制約された部分空間内での状態到達可能性を評価すること。
• 近似および閉包に関する議論を用いて、有限次元での制御可能性結果（例：Brockettの定理）を無限次元設定へ拡張すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幾何的制御可能性の概念を無限次元量子系へ意味的に拡張できるか？
• RQ2 系の進化が事前に定義された部分空間に制限される場合、どのような条件下で量子系が依然として制御可能であるか？
• RQ3 制御リー代数の代数的および位相的性質が、無限次元ヒルベルト空間における制御可能性に与える影響は何か？
• RQ4 系ハミルトニアンのスペクトル的性質が、部分空間制御可能性を決定づける役割を果たすか？
• RQ5 標準的な有限次元制御基準が、無限次元量子系へどの程度適応可能か？

主な発見

• 部分空間が閉じたリー代数的基準を満たしている限り、特定の部分空間に制限された軌道に対しても、無限次元量子系における制御可能性を確立できる。
• 本稿は、位相的およびスペクトル的障害のため、標準的な有限次元制御理論フレームワークが無限次元では失敗することを示しており、新たな解析的手法の必要性を示している。
• 多準位系が調和振動子と結合する系では、制御代数が部分空間位相で稠密なリー代数を生成する場合、関連部分空間上で完全な制御可能性が達成可能である。
• 著者らは、弱作用素位相における動的リー代数の閉包が到達可能な集合を決定づけることを示しており、部分空間制御可能性の実用的基準を提供している。
• 解析により、スペクトルの degeneracy（簡約性）および無限次元構造が、有限次元類似物では失敗する場合でも制御可能性を生じうることが明らかになった。
• 本研究は、キャビティQED装置のような無限自由度を持つ系へ制御プロトコルを拡張する理論的基盤を提供している。