[論文レビュー] The convergence problem for dissipative autonomous systems: classical methods and recent advances

Alain Haraux, Mohamed Ali Jendoubi|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 62被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、放物型および双曲型PDEに従う無限次元の発展方程式を扱う、散逸的で自己同調的なシステムにおける平衡点への収束について、包括的な分析を提供する。Łojasiewicz勾配不等式を用いて収束を確立し、解析的かつ散逸的条件が満たされれば、明示的な固有値ギャップや線形化の仮定がなくても、すべての有界な軌道が単一の平衡点に収束することを示している。

ABSTRACT

The initial motivation of this text was to provide an up to date translation of the monograph [45] written in french by the first author, taking account of more recent developments of infinite dimensional dynamics based on the Łojasiewicz gradient inequality. In order to keep the present work within modest size bounds and to make it available to the readers without too much delay, we decided to make a first volume entirely dedicated to the so-called convergence problem for autonomous systems of dissipative type. We hope that this volume will help the interested reader to make the connection between the rather simple background developed in the french monograph and the rather technical specialized literature on the convergence problem which grew up rather fast in the recent years.

研究の動機と目的

• 無限次元設定における散逸的自己同調システムの有界な軌道が平衡点に収束することを確立すること。
• 古典的なリャプノフおよびLaSalleの手法をバナッハ空間における非線形かつ非有界作用素に拡張すること。
• 無限次元発展方程式に Łojasiewicz 勾配不等式を適用し、解析的非線形性を持つ場合に応用すること。
• 半線形PDE（熱方程式および波動方程式）の解が、有限次元における振動的挙動があるにもかかわらず、平衡点に収束するための条件を提供すること。
• 有限次元および無限次元システムにおける収束推定の減衰率と最適性を分析すること。

提案手法

• 抽象的バナッハ空間における Łojasiewicz 勾配不等式を用いて、軌道に 沿うエネルギーの減衰を制御する。
• Hille-Yosida-Phillipsの定理を用いて、線形および半線形発展方程式の $C_0$-半群を生成する。
• リャプノフ関数およびBarbashin-Krasovski-LaSalleの不変性原理を用いて、漸近的安定性を分析する。
• ソボレフ空間およびルベーグ空間上でのNemytskii作用素の解析的性質を用いて、エネルギー汎関数およびその導関数の正則性を保証する。
• コンパクト性の議論および楕円型正則性を用いて、自然なエネルギー空間における軌道の前コンパクト性を証明する。
• 追加の仮定（例えば、べき乗型非線形性およびエネルギーの正定性）のもとで、明示的な減衰率を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限次元バナッハ空間における散逸的自己同調システムの有界な解が平衡点に収束するための条件は何か？
• RQ2 スペクトルギャップが存在しない状況でも、非線形PDEに unbounded 作用素を含む場合に Łojasiewicz 勾配不等式を適用し、収束を保証できるか？
• RQ3 平衡点に収束する解の可能な減衰率は何か？また、いつそれが最適となるか？
• RQ4 非解析的非線形性は収束にどのように影響するか？特定のPDEに対して非収束を示せるか？
• RQ5 漸近的に消える摂動に対して、収束結果はどの程度頑健か？

主な発見

• 解析的非線形性を持つ半線形熱方程式および波動方程式では、すべての有界な軌道が $t \to \infty$ のとき単一の平衡点に収束する。
• エネルギー汎関数が解析的であれば、スペクトルギャップが存在しない場合でも Łojasiewicz 勾配不等式が収束を保証する。
• 2階常微分方程式 $u'' + u' + u^3 = 0$ の場合、初期条件に応じて解は $t^{-1/2}$ または指数関数的に減衰する。
• 方程式 $u'' + c|u'|^\alpha u' + |u|^\beta u = 0$ において、$ \alpha > \beta/(\beta+2)$ ならば、すべての解は振動的であり、同じ減衰率で減少する。
• 放物型および双曲型方程式において、滑らかではあるが解析的でない非線形性を有する場合、文献に示される反例により非収束が生じ得る。
• べき乗型非線形性に対しては明示的な減衰率が計算可能であり、Łojasiewicz法による推定は多くの場合に最適である。