[論文レビュー] The Convex Configurations of "Sei Shonagon Chie no Ita" and Other Dissection Puzzles

Eli Fox-Epstein, Ryuhei Uehara|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2014

Genome Rearrangement Algorithms参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、同一の二等辺直角三角形からなる切断パズルを用いて凸多角形の形成を調査する。Sei Shōnagon Chie no Itaは16個の凸多角形を形成可能であり、これはタングラムの13個を上回る。7ピースのパズルは19個の凸多角形を形成可能であり、16個の同一の二等辺直角三角形から可能な20個の凸多角形をすべて形成するには11ピースが必要かつ十分であることが示された。

ABSTRACT

The tangram and Sei Shonagon Chie no Ita are popular dissection puzzles consisting of seven pieces. Each puzzle can be formed by identifying edges from sixteen identical right isosceles triangles. It is known that the tangram can form 13 convex polygons. We show that Sei Shonagon Chie no Ita can form 16 convex polygons, propose a new puzzle that can form 19, no 7 piece puzzle can form 20, and 11 pieces are necessary and sufficient to form all 20 polygons formable by 16 identical isosceles right triangles. Finally, we examine the number of convex polygons formable by different quantities of these triangles.

研究の動機と目的

• 16個の同一の二等辺直角三角形を用いた Sei Shōnagon Chie no Ita パズルが形成可能な凸多角形の数を特定すること。
• Sei Shōnagon Chie no Ita とタングラムの間で、凸形状を形成する表現力の違いを比較すること。
• 16個の同一の二等辺直角三角形からなる最適化された7ピースの切断パズルを設計し、形成可能な凸多角形の数を最大化すること。
• 16個の同一の二等辺直角三角形から可能な20個の凸多角形をすべて形成するために必要な最小ピース数を同定すること。

提案手法

• 王と許氏の先行研究に基づき、16個の同一の二等辺直角三角形から形成可能な20個の凸多角形を列挙するための組合せ的・幾何的解析を実施した。
• 辺の整合性（平行、垂直、または同一直線上）を制約として設定し、整数座標への埋め込みに制限を加えた。
• ピースのサイズ制限による制約により、4つの特定の細長い台形形状が形成不可能であることを、包括的なケース解析によって証明した。
• ピースの形状と接続性を最適化することで、20個の可能な凸多角形のうち19個を形成可能な新規の7ピースパズル構成を設計した。
• 10個以下のピースでは1×8√2の平行四辺形と2√2辺の正方形を同時にカバーできないことを示すことで、完全カバーに11ピースが必要であることを証明した。
• 計算探索を用いて、n個の同一の二等辺直角三角形から形成可能な凸多角形の数を数える関数f(n)を決定し、その挙動を分析した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Sei Shōnagon Chie no Ita パズルは、いくつの異なる凸多角形を形成できるか？
• RQ2 16個の同一の二等辺直角三角形からなる7ピースの切断パズルは、タングラムよりも多くの凸多角形を形成できるか？
• RQ3 16個の同一の二等辺直角三角形から可能な20個の凸多角形のうち19個を形成できる7ピースのパズルを構築することは可能か？
• RQ4 16個の同一の二等辺直角三角形から可能な20個の凸多角形をすべて形成するために必要な最小ピース数は何か？
• RQ5 形成可能な凸多角形の数は、三角形の数に応じてどのように変化するか。すなわち、f(n) の挙動はいかなるものか？

主な発見

• Sei Shōnagon Chie no Ita は正確に16個の異なる凸多角形を形成可能であり、これはタングラムの13個を上回る。
• 16個の同一の二等辺直角三角形から可能な20個の凸多角形のうち19個を形成可能な新規の7ピースパズルが構築された。
• 16個の同一の二等辺直角三角形からなる7ピースの切断パズルでは、20個の凸多角形をすべて形成することは不可能である。
• 16個の同一の二等辺直角三角形から可能な20個の凸多角形をすべて形成するには、11ピースが必要かつ十分である。
• n個の同一の二等辺直角三角形から形成可能な凸多角形の数を数える関数f(n)は一般に増加する傾向にあり、f(16) = 20 である。
• 1×8√2の平行四辺形と2√2辺の正方形はきびしい制約を課し、10個以下のピースではすべての20形状を完全にカバーできないことを証明した。