[論文レビュー] THE CONVEX REAL PROJECTIVE MANIFOLDS AND ORBIFOLDS WITH RADIAL ENDS I: THE OPENNESS OF DEFORMATIONS

Suhyoung Choi|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 44被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、径方向の端を持つ凸な実射影的オルビフォールドの変形の開性を、基本群と端構造の分析により確立し、特定の条件下で小さな変形が厳密な凸性を保つことを証明する。Benoiの結果を一般化し、このようなオルビフォールドが相対的に双曲的であるための必要十分条件が、その端に関して厳密に凸であることであることを示している。

ABSTRACT

A real projective orbifold is an n-dimensional orbifold modeled on RP n with groups PGL(n + 1;R). We concentrate on orbifolds with a compact codimension 0 submanifold whose complement is a union of neighborhoods of ends, dieomorphic to (n 1)-dimensional orbifolds times intervals. A real projective orbifold has radial end if each of its end is foliated by projective geodesics concurrent to each other. It is said to be convex if any path can be homotoped to a projective geodesic with endpoints xed. A projective structure sometimes admit deformation to inequivalent parameters of real projective structures. We will prove that local homemorphism between the deformation space of projective structures on such an orbifold with radial ends with various conditions with the representation space of the fundamental group with corresponding conditions. We will use a Hessian argument to show that a small deformation of a real projective orbifold with ends and without essential annuli will remain properly and strictly convex in a generalized sense if so is the beginning real projective orbifold provided that the ends behave in a convex manner. Here, we have to restrict each end to have a fundamental group isomorphic to a nite extension of a product of hyperbolic groups and abelian groups. The understanding of the ends is not accomplished in this paper as this forms an another subject. We will prove the closedness of the convex real projective structures on orbifolds with irreducibilty condition. One theorem of note is that a convex irreducible real projective orbifold with radial ends with some condition is relatively hyperbolic if and only if it is strictly convex with respect to ends, generalizing the result of Benoist for closed orbifolds.

研究の動機と目的

• 径方向の端を持つオルビフォールド上の実射影的構造の変形空間の開性を確立すること。
• 端の挙動と基本群の構造に基づいて、凸性および厳密凸性を特徴づけること。
• 閉じたオルビフォールドに対するBenoistの結果を、径方向の端を持つ場合に一般化すること。
• 相対的双曲性と端における厳密凸性の関係を調査すること。
• 構造的制御のため、端の基本群を双曲的およびアーベル群の積の有限拡張に制限すること。

提案手法

• 小さな変形における凸性条件の第二変動を分析するため、ヘッセ行列の議論を用いる。
• オルビフォールドを、(n−1)次元のオルビフォールドと区間の積に微分同相な近傍を持つコンパクトコアとしてモデル化する。
• 各端が一点に収束する射影的測地線でファイブレーションされることを要請し、径方向の端を定義する。
• 各端の基本群に制約を課し、双曲的およびアーベル群の積の有限拡張に制限する。
• 変形空間と基本群の表現空間との間に局所同相写像を確立する。
• トポロジカルおよび幾何学的制御を保証するため、不可約性条件を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 径方向の端を持つ凸な実射影的オルビフォールドの小さな変形が、どのような条件下で厳密凸性を保つのか。
• RQ2 端の基本群は、実射影的構造の変形空間にどのように制約を加えるか。
• RQ3 このようなオルビフォールドにおいて、相対的双曲性と端における厳密凸性の関係は何か。
• RQ4 ヘッセ行列の議論が、変形空間の開性を保証する仕組みは何か。
• RQ5 特に、端の基本群の構造が、オルビフォールド全体の凸性にどのように影響するか。

主な発見

• 径方向の端を持つオルビフォールド上の実射影的構造の変形空間は、与えられた条件下で開である。
• 元の構造が厳密に凸であり、端が凸的に振る舞う限り、小さな変形は厳密凸性を保つ。
• 径方向の端を持つ凸かつ不変な実射影的オルビフォールドは、その端に関して厳密に凸であることと、相対的に双曲的であることとは同値である。
• 結果が成り立つためには、各端の基本群が双曲的およびアーベル群の積の有限拡張に同型でなければならない。
• 実射影的構造の変形空間と基本群の表現空間との間に局所同相写像が確立された。
• ヘッセ行列の議論は、凸性が小さな摂動のもとで保たれることを検証するための重要な解析的道具である。