[論文レビュー] The cooperative game theory foundations of network bargaining games

MohammadHossein Bateni, MohammadTaghi Hajiaghayi+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2010

Game Theory and Voting Systems参考文献 38被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、協力ゲーム理論とネットワーク交渉ゲームの間で、非対称な容量制約を持つ設定に一般化された安定解およびバランス解を扱う線形計画法の枠組みを提案することで、新たな関係を確立している。コアおよびプレコアルの概念が、協力ゲーム理論における安定およびバランスのとれた結果に対応することを示し、反復的LPの刈り込み手法により、一意で計算的に扱いやすい、実験的にも裏付けられた核（nucleolus）を効率的に計算可能である。これは、容量制約のある市場における計算的に扱いやすく、一意で実験的に支持された解の概念を提供する。

ABSTRACT

We study bargaining games between suppliers and manufacturers in a network context. Agents wish to enter into contracts in order to generate surplus which then must be divided among the participants. Potential contracts and their surplus are represented by weighted edges in our bipartite network. Each agent in the market is additionally limited by a capacity representing the number of contracts which he or she may undertake. When all agents are limited to just one contract each, prior research applied natural generalizations of the Nash bargaining solution to the networked setting, defined the new solution concepts of stable and balanced, and characterized the resulting bargaining outcomes. We simplify and generalize these results to a setting in which participants in only one side of the market are limited to one contract each. The heart of our results uses a linear-programming formulation to establish a novel connection between well-studied cooperative game theory concepts (such as core and prekernel) and the solution concepts of stable and balanced defined for the bargaining games. This immediately implies one can take advantage of the results and algorithms in cooperative game theory to reproduce results such as those of Azar et al. [1] and Kleinberg and Tardos [29] and also generalize them to our setting. The cooperative-game-theoretic connection also inspires us to refine our solution space using standard solution concepts from that literature such as nucleolus and lexicographic kernel. The nucleolus is particularly attractive as it is unique, always exists, and is supported by experimental data in the network bargaining literature. Guided by algorithms from cooperative game theory, we show how to compute the nucleolus by pruning and iteratively solving a natural linear-programming formulation.

研究の動機と目的

• 単位容量を仮定する従来のネットワーク交渉モデルを、非対称な容量制約を持つ設定に一般化すること。
• 協力ゲーム理論の概念（コア、プレコアル、核）とネットワーク交渉の解の概念（安定、バランス）との間の明確な関係を確立すること。
• 線形計画法と反復的刈り込みを用いて、一意で安定的かつ実験的に支持された解としての核（nucleolus）を計算する、計算的に効率的な手法を開発すること。
• 核（nucleolus）や辞書的コア（lexicographic kernel）といった高度な協力ゲーム理論的概念を導入することで、安定性とバランス性を越えた解の概念を精緻化すること。

提案手法

• 二部グラフに容量制約を課した状況において、シャープレー＝シュービックの定式化を一般化する線形計画法を定式化する。
• 超過値 ǫ(T) を基準に、集合 T をLP定式化から除去するための刈り込み戦略を導入し、必要な制約のみを保持する。
• 協力ゲーム理論におけるコアおよびプレコアルを用いて、ネットワーク交渉設定における安定的およびバランスの取れた結果を特徴付ける。
• 核（nucleolus）を精緻化された解の概念として適用し、その一意性と存在の保証を活用して、一意で安定した結果を生成する。
• 動的制約削除を伴う反復的LP解法を採用し、超過値が最小の集合 T を優先的に処理することで収束を保証する。
• 核（nucleolus）が、相対的超過値および価値寄与度に基づいて集合 T を刈り込むことで、繰り返しLPを解くことによって計算可能であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ネットワーク交渉における安定的およびバランスの取れた解の概念を、市場の一方の側でのみ単位容量制約が課される状況に一般化する方法は何か？
• RQ2 協力ゲーム理論の概念（コア、プレコアル、核）とネットワーク交渉の解の概念（安定、バランス）との間の正式な関係は何か？
• RQ3 この一般化されたネットワーク交渉モデルにおいて、核（nucleolus）は効率的に計算可能か？また、一意性や安定性といった望ましい性質を保持するか？
• RQ4 ネットワークの構造と容量制約を活用することで、核（nucleolus）の計算の計算複雑性をどのように低減できるか？
• RQ5 超過値 ǫ(T) は、LP計算における制約の反復的刈り込みをどのように導くか？

主な発見

• 一般化された容量制約付きモデル下で、ネットワーク交渉ゲームにおける安定的およびバランスの取れた結果は、それぞれ協力ゲーム理論におけるコアおよびプレコアルに正確に対応する。
• この設定において核（nucleolus）は一意に定義され、常に存在するため、一意で安定的かつ実験的に支持された交渉問題の解としての役割を果たす。
• 超過値 ǫ(T) を基準に冗長な制約を刈り込む反復的線形計画法により、核（nucleolus）を計算可能である。収束が保証される。
• 最小超過値を持つ集合 T を特定の順序で処理することで、制約集合を段階的に削減するLPの系列を解くことにより、核（nucleolus）が計算可能であることが証明された。
• 各集合 T の超過値 ǫ(T) が、事前に計算された値の線形結合として得られることを示すことにより、核（nucleolus）の計算が計算的に扱いやすいことが立証された。この際、考慮すべき集合 T の数は多項式オーダーに制限される。
• 本手法は、先行研究（例：Azar et al. [1], Kleinberg and Tardos [29]）を一般化し、計算効率性と解の一意性を保ちつつ、非対称な容量モデルへと拡張した。