[論文レビュー] The Cop Number of Graphs with Forbidden Induced Subgraphs

Mingrui Liu|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2019

Advanced Graph Theory Research参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特定の誘導部分グラフを含まないグラフのコップ数を調査し、特定のパス型またはスターダイクス構造を含まないグラフ族に対するコップ数の上限を求めるための新規手法を導入する。$c(G) \leq k-2$ が $P_k$-free グラフ ($k \geq 3$) に対して成立することを証明し、これに $c(G) \leq i+j-2$ を $(P_i + P_j)$-free グラフに拡張し、$\{P_k, K_{1,3}\}$-free および $\{2P_2, \overline{P_5}\}$-free グラフに対してもより鋭い上限を得た。これにより、一部の予想が解決され、先行研究が一般化された。

ABSTRACT

In the game of Cops and Robber, a team of cops attempts to capture a robber on a graph $G$. Initially, all cops occupy some vertices in $G$ and the robber occupies another vertex. In each round, a cop can move to one of its neighbors or stay idle, after which the robber does the same. The robber is caught by a cop if the cop lands on the same vertex which is currently occupied by the robber. The minimum number of cops needed to guarantee capture of a robber on $G$ is called the {\em cop number} of $G$, denoted by $c(G)$. We say a family $\cal F$ of graphs is {\em cop-bounded} if there is a constant $M$ so that $c(G)\leq M$ for every graph $G\in \cal F$. Joret, Kaminński, and Theis [Contrib. Discrete Math. 2010] proved that the class of all graphs not containing a graph $H$ as an induced subgraph is cop-bounded if and only if $H$ is a linear forest; morerover, $C(G)\leq k-2$ if if $G$ is induced-$P_k$-free for $k\geq 3$. In this paper, we consider the cop number of a family of graphs forbidding certain two graphs and generalized some previous results.

研究の動機と目的

• 特定の誘導部分グラフ（特にパスやクラウド）を含まないグラフのコップ数を特定すること。
• $P_k$-free グラフに関する先行結果を、複数の誘導部分グラフを禁止する家族に一般化すること。
• 構造的グラフ分解と追跡戦略を用いた統一的なコップ数の上限評価法を提供すること。
• Sivaraman と Testa が提起した $2P_2$-free グラフのコップ数に関する予想を部分的に解決すること。

提案手法

• コップと泥棒の間の距離を制御するための新戦略が開発され、最短経路構造と近傍制約が用いられる。
• 証明技法は、コップと泥棒の間の最小距離 $f$ を用い、そのラウンドごとの変化を分析する。
• コップは頂点および近傍に戦略的に配置され、泥棒が $P_k$-free な成分に隔離されるようにする。
• 数学的帰納法と構造的解析を用いて、$k-2$ 人のコップで $P_k$-free グラフに十分であることを示し、パスの和へ拡張する。
• $\{P_k, K_{1,3}\}$-free グラフでは、パスフリー性とクラウドフリー性を組み合わせることでコップ数を $k-3$ にまで低下させる。
• この手法は $(P_{i_1} + \cdots + P_{i_k})$-free グラフに一般化され、コップ数の上限が $\sum i_j - 2$ となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $k \geq 3$ の $P_k$-free グラフに対して、コップ数の最大値は何か？
• RQ2 $P_k$ と $K_{1,3}$ のような2つの誘導部分グラフを禁止するグラフでは、コップ数はどのように評価できるか？
• RQ3 $i,j \geq 1$ の $P_i + P_j$-free グラフでは、コップ数はどのように振る舞うか？
• RQ4 パスの頂点集合の互いに素な和を禁止することで、コップ数は低下するか？
• RQ5 $\{2P_2, \overline{P_5}\}$-free グラフのコップ数は何か？ そして、既知の上限と比較するとどうなるか？

主な発見

• 任意の $P_k$-free グラフのコップ数は $k \geq 3$ に対して $k-2$ 以下である。これは既知の結果を新しい証明法で確認したものである。
• $\{P_k, K_{1,3}\}$-free グラフで $k \geq 5$ の場合、コップ数は $k-3$ 以下である。これは $P_k$-free グラフに対する境界を改善したものである。
• $(P_i + P_j)$-free グラフのコップ数は $i + j - 2$ 以下であり、パスの互いに素な和を禁止することで、個々のパスを禁止する場合よりも鋭い境界が得られることを示している。
• $\{2P_2, \overline{P_5}\}$-free グラフではコップ数が2以下である。これは、三角形を含まない補グラフを持つ $2P_2$-free グラフに関する先行結果を一般化したものである。
• $(P_1 + P_k)$-free グラフに対して $c(G) \leq k-1$ であり、$(P_2 + P_k)$-free グラフに対しては $c(G) \leq k$ であることを証明した。これにより、この手法の適用範囲が拡張された。
• この手法により、Sivaraman と Testa が提起した $2P_2$-free グラフのコップ数に関する予想の部分的なケースが解決された。