[論文レビュー] The Cops and Robber game on graphs with forbidden (induced) subgraphs

Gwenaël Joret, Marcin Kamiński+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2008

Advanced Graph Theory Research参考文献 14被引用数 33

ひとこと要約

本稿は、単一のグラフを部分グラフまたは部分グラフとして含まないグラフクラスにおけるコップ数の特性を明らかにしている。コップ数が有界であるための必要十分条件として、禁止グラフの各連結成分が部分グラフの場合にパス、または部分グラフの場合に高々3つの葉を持つ木であることを示しており、距離の短縮戦略と木分解技術を用いて証明している。主な貢献は、禁止部分グラフ制約下でのコップ数が有界となるグラフの完全な構造的特徴付けを提供することにある。

ABSTRACT

The two-player, complete information game of Cops and Robber is played on undirected finite graphs. A number of cops and one robber are positioned on vertices and take turns in sliding along edges. The cops win if, after a move, a cop and the robber are on the same vertex. The minimum number of cops needed to catch the robber on a graph is called the cop number of that graph. In this paper, we study the cop number in the classes of graphs defined by forbidding one or more graphs as either subgraphs or induced subgraphs. In the case of a single forbidden graph we completely characterize (for both relations) the graphs which force bounded cop number. In closing, we bound the cop number in terms of the tree-width.

研究の動機と目的

• 単一のグラフを部分グラフまたは誘導部分グラフとして禁止するグラフクラスにおいて、コップ数が有界となる構造的条件を同定すること。
• 平面的およびマイナー自由グラフに関する既知の結果を一般化し、コップ数が有界となるような正確な禁止部分グラフを同定すること。
• コップ数、木幅、グラフの周囲長の間の密接な関係を確立し、新たなアルゴリズム的および構造的知見を提供すること。
• 禁止部分グラフの障害としての構造的特徴付けに関する未解決問題を解消し、コップ数が有界となるグラフの組合せ的特徴付けを同定すること。

提案手法

• コップが最短経路に従って移動し、距離を短縮しながらパスに類似した配置を維持する段階的戦略を用いる。
• 隣接する木袋間のカットセットを守る戦略を模倣するために、木分解技術を適用する。これにより、泥棒が脱出できないように保証される。
• 禁止グラフの連結成分数に関する帰納的推論を用い、次数が有界な木に関する基本ケースに問題を還元する。
• 既知の木幅に関するコップ数の上限（cop(G) ≤ tw(G)/2 + 1）を活用し、この関係を木幅と周囲長の関係（tw(G) ≤ circ(G) − 1）を通じて関連付ける。
• 「bibjパス」と「ガード付きパス」の概念を用い、コップの移動中に重要な頂点を制御する。
• スブディビジョンの議論を適用し、禁止グラフに高次元の頂点や複数の次数3頂点が含まれる場合に、コップ数が無限大となるグラフを構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのグラフ H に対して、H-自由（誘導部分グラフとしての H-自由）グラフクラスにおけるコップ数が有界となるか？
• RQ2 H のどの構造的性質が、すべての H-自由グラフが有界コップ数を持つことを保証するか？
• RQ3 H-自由グラフにおいて、コップ数は木幅やグラフの周囲長とどのように関係するか？
• RQ4 H が森林であっても、コップ数が無限大となる場合があるか？ もしそうなら、どのような条件下で生じるか？
• RQ5 H-部分グラフを禁止するグラフが有界コップ数を持つような H の正確な特徴付けは何か？

主な発見

• H-自由グラフのクラスが有界コップ数を持つのは、H の各連結成分がパスであるとき、かつそのときに限る。
• H-部分グラフを禁止するグラフのクラスが有界コップ数を持つのは、H の各連結成分が高々3つの葉を持つ木であるとき、かつそのときに限る。
• 任意の ℓ ≥ 3 に対して、Pℓ-自由グラフのコップ数は ℓ − 2 以下であり、特定のグラフ族に対してこの上限はタイトである。
• グラフのコップ数は、その木幅の半分に1を加えた値以下であり、木幅が5以下の範囲ではこの上限が鋭い。
• コップ数は、グラフの周囲長の半分以下である。これは、木幅と周囲長の関係から導かれる。
• 最大次数が3であっても、強い制約下（例：3正則グラフ）にあっても、コップ数が無限大となるグラフが存在する。これは、成分木に構造的制約がない限り、最大次数3だけではコップ数を有界に保てないことを示している。