[論文レビュー] The Corona Property in Nevanlinna quotient algebras and Interpolating sequences

Xavier Massaneda, Artur Nicolau+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2018

Holomorphic and Operator Theory参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、Nevanlinna商代数 $\mathcal{N}/B\mathcal{N}$ において、コロナ性質が成り立つのは、Blaschke積 $B$ の零点集合がNevanlinna補間列の有限個の和集合であるとき、かつそのときに限ることを確立している。この結果は、一様な下界の代わりに正の調和関数による上界を用いることで、古典的コロナ理論をNevanlinna類へ拡張し、差分と調和関数による制御を通じて、このようなBlaschke積の同値な特徴付けを提供する。

ABSTRACT

Let $I$ be an inner function in the unit disk $\\mathbb D$ and let $\\mathcal N$ denote the Nevanlinna class. We prove that under natural assumptions, Bezout equations in the quotient algebra $\\mathcal N/I\\mathcal N$ can be solved if and only if the zeros of $I$ form a finite union of Nevanlinna interpolating sequences. This is in contrast with the situation in the algebra of bounded analytic functions, where being a finite union of interpolating sequences is a sufficient but not necessary condition. An analogous result in the Smirnov class is proved as well as several equivalent descriptions of Blaschke products whose zeros form a finite union of interpolating sequences in the Nevanlinna class.

研究の動機と目的

• Blaschke積 $B$ に対して、Nevanlinna商代数 $\mathcal{N}/B\mathcal{N}$ においてコロナ性質が成り立つ条件を特徴付けること。
• 一様な下界の代わりに正の調和上界を用いることで、$H^\infty$ からNevanlinna類 $\mathcal{N}$ への古典的コロナ理論の拡張を図ること。
• 零点集合がNevanlinna補間列の有限個の和集合であるようなBlaschke積の同値な特徴付けを提供すること。
• ローチェの定理と調和関数による制御を用いて、Nevanlinna補間列の小規模な摂動における安定性を確立すること。

提案手法

• 関数が内-外因子分解をもち、非零関数が可逆であるNevanlinna類 $\mathcal{N}$ を用いて、商代数 $\mathcal{N}/B\mathcal{N}$ を定義すること。
• Bézout方程式 $f_1g_1 + \cdots + f_n g_n = 1 + Bh$ が $f_i, g_i, h \in \mathcal{N}$ で解かれるという形で、$\mathcal{N}/B\mathcal{N}$ におけるコロナ性質を定義し、$\lambda \in \Lambda$ に対して $|f_1(\lambda)| + \cdots + |f_n(\lambda)| \geq e^{-H(\lambda)}$ が成り立つ条件（$H \in \operatorname{Har}_+(\mathbb{D})$）を課すこと。
• ローチェの定理を適用して、Blaschke積 $B$ の小規模な摂動 $B - g$ が同じ零点構造を保ち、かつNevanlinna補間列であることを示すこと。
• Harnackの不等式と $|B(N)|$ の対数的下層集合におけるコーシー推定を用いて、$|B(N)(z)| \leq \exp(-H_4(z))$ を仮定したときの矛盾を導出し、調和上界に関する重要な主張を証明すること。
• 集合 $\Lambda$ における $N-1$ 階差分を用いて、正の調和関数による一様な制御を通じて、Nevanlinna補間列の有限個の和集合を特徴付けること。
• 文献[8, コロナリー2.3]の安定性結果を活用し、$g$ が $\mathcal{N}$-ノルムで十分に小さいとき、$B - g$ の摂動された零点集合がNevanlinna補間列のまま保たれることを結論づけること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Nevanlinna商代数 $\mathcal{N}/B\mathcal{N}$ において、コロナ性質がいつ成り立つか？
• RQ2 零点集合がNevanlinna補間列の有限個の和集合であるようなBlaschke積 $B$ は、どのように特徴付けられるか？
• RQ3 $\mathcal{N}/B\mathcal{N}$ におけるBézout方程式の可解性は、一様な下界ではなく、調和上界とどのように関係するか？
• RQ4 生成するBlaschke積の小さな解析的摂動によって、Nevanlinna補間列は保存されるか？
• RQ5 差分は、Nevanlinna補間列の有限個の和集合を特徴付ける際に果たす役割は何か？

主な発見

• コロナ性質が $\mathcal{N}/B\mathcal{N}$ で成り立つのは、Blaschke積 $B$ の零点集合 $\Lambda$ がNevanlinna補間列の有限個の和集合であるとき、かつそのときに限る。
• 任意の $f_1, \dots, f_n \in \mathcal{N}$ に対して、Bézout方程式 $f_1g_1 + \cdots + f_n g_n = 1 + Bh$ が $\mathcal{N}$ で解かれるのは、すべての $\lambda \in \Lambda$ に対して $|f_1(\lambda)| + \cdots + |f_n(\lambda)| \geq e^{-H(\lambda)}$ が成り立ち、ある $H \in \operatorname{Har}_+(\mathbb{D})$ が存在するとき、かつそのときに限る。
• $\Lambda = \bigcup_{j=1}^N \Lambda_j$ で、各 $\Lambda_j$ がNevanlinna補間列であるとき、ある $H_1 \in \operatorname{Har}_+(\mathbb{D})$ が存在して、すべての $z \in \mathbb{D}$ と $j = 1, \dots, N$ に対して $\#\Lambda_j \cap D_{H_1}(z) \leq 1$ が成り立つ。
• $g \in \mathcal{N}$ で $|g(z)| \leq e^{-H_0(z)}$ かつ $H_0 > (N^2 + N + 1)H_1$ を満たすとき、Blaschke積 $B - g$ は $B$ と同じ数の零点を領域の各成分に持ち、その零点集合もまたNevanlinna補間列の有限個の和集合である。
• $B - g = B_1 G$ と分解され、$B_1$ はNevanlinna内Blaschke積の有限個の積であり、$G$ は $\mathcal{N}$ で可逆であるため、$1/G \in H^\infty$ が成り立つ。
• 集合 $\Lambda$ がNevanlinna補間列の有限個の和集合であることは、かつそのときに限り、制限 $\mathcal{N}|\Lambda$ が、正の調和関数による一様な制御を受ける $N-1$ 階差分を持つ関数の空間 $X^{N-1}(\Lambda)$ と一致することである。