[論文レビュー] The Corona theorem and stable rank for the algebra $\mC +BH^\infty$

Raymond Mortini, Amol Sasane+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2008

Holomorphic and Operator Theory参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$B$ をブレーシュケ積とする代数 $\mathbb{C} + BH^\infty$ におけるコロナ定理を確立し、ベッサ安定次数を計算する。$H^\infty_B$ に属する関数に対してコロナ条件（ゼロから一様に離れていること）が成り立つならば、解に一様な境界が得られることを示し、$H^\infty_B$ および $A(\mathbb{D})_B$ のベッサ安定次数が 1 であることを示す。これは $H^\infty$ の古典的結果を制約付き部分代数へと拡張する。結果は、補間やイデアル論的議論を含む複数の手法によって得られる。

ABSTRACT

Let $B$ be a Blaschke product. We prove in several different ways the corona theorem for the algebra $H^\infty_B:=\mC+BH^\infty$. That is, we show the equivalence of the classical {\em corona condition} on data $f_1, ..., f_n \in H^\infty_B$: \[ \forall z \in \mD, \sum_{k=1}^{n} |f_k(z)| \geq δ>0, \] and the {\em solvability of the Bezout equation} for $g_1, ..., g_n \in H^\infty_B$: \[ \forall z\in \mD, \sum_{k=1}^n g_k (z)f_k(z)=1. \] Estimates on solutions to the Bezout equation are also obtained. We also show that the Bass stable rank of $H^\infty_B$ is 1. Let $A(\mD)_B$ be the subalgebra of all elements from $H^\infty_B$ having a continuous extension to the closed unit disk $\bar{\mD}$. Analogous results are obtained also for $A(\mD)_B$.

研究の動機と目的

• 関数とその導関数がブレーシュケ積の零点で点別制約を受ける $H^\infty$ の部分代数に対して、コロナ定理が成立しないという欠落を補う。
• 古典的コロナ条件の下で、$H^\infty_B = \mathbb{C} + BH^\infty$ におけるベズー方程式の可解性を示し、解に一様な推定を得る。
• $H^\infty_B$ および $A(\mathbb{D})_B$ のベッサ安定次数が 1 であることを証明し、$H^\infty$ や $A(\mathbb{D})$ における既知の結果を拡張する。
• $H^\infty_B$ におけるコロナ定理の複数の独立した証明を提供する。最大理想空間の稠密性およびイデアル還元技術を用いる。
• $A(\mathbb{D})_B$ の最大理想空間の構造を調査し、$B$ の零点列の極限点が同一視された $\overline{\mathbb{D}}$ と同相であることを示す。

提案手法

• $H^\infty_B$ におけるコロナ定理は、最大理想空間への古典的カルレソン・コロナ定理の直接適用を含む、4つの異なる方法で証明される。
• $H^\infty_B$ の同値な定式化として、$\mathbb{C} + BH^\infty$ が用いられる。この代数に属する関数は、各零点 $a_k$（重複度 $m_k$）において、値と $m_k - 1$ 階微分まで一致する。
• 補間技術を用いて、ベズー方程式の解に対する推定が得られ、$B$ の零点列の極限点上で 1 で、それ以外では 1 より小さい関数 $p \in A(\mathbb{D})$ の存在を用いる。
• $H^\infty_B$ のベッサ安定次数が 1 であることを示すために、ユニモジュラー対 $(f,g)$ を、一方の係数が定数である場合に還元し、$H^\infty$ の安定次数に関するトレイルの結果を適用する。
• $A(\mathbb{D})_B$ についても同様の結果を得る。$A(\mathbb{D})$ がベッサ安定次数 1 を持つことと、$B$ の零点の極限集合上で 1 で、それ以外では 1 より小さい関数 $p$ を構成することで、問題をディスク代数に還元する。
• 代数的議論により、$\mathcal{A}$ がベッサ安定次数 $n$ を持てば、任意の真のイデアル $\mathbb{I}$ に対して $\mathbb{C} + \mathbb{I}$ もベッサ安定次数 $n$ を持つことを示し、$\mathcal{A} = H^\infty$ および $\mathbb{I} = BH^\infty$ に適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $H^\infty_B$ に属する $n$ 個の関数に対して、古典的コロナ条件が成り立つならば、作用素ノルムにおいて一様な境界を持つベズー方程式の解が存在するか？
• RQ2 イデアル論的および補間に基づく議論を含む、複数の独立した手法を用いて、$H^\infty_B$ のベッサ安定次数が 1 であることを示せるか？
• RQ3 $A(\mathbb{D})_B$ の最大理想空間は、$B$ の零点列の極限点が同一視された $\overline{\mathbb{D}}$ と同相か？
• RQ4 古典的 $H^\infty$ の場合と同様に、生成子の数 $n$ に依存しないように、ベズー方程式の解の境界を一様化できるか？
• RQ5 $\mathcal{A}$ が既知の安定次数を持つバナッハ代数で、$\mathbb{I}$ が $\mathcal{A}$ の真のイデアルであるとき、$\mathbb{C} + \mathbb{I}$ の安定次数は $\mathcal{A}$ の安定次数と等しいか？

主な発見

• コロナ定理は $H^\infty_B = \mathbb{C} + BH^\infty$ に対して成立する：すべての $z \in \mathbb{D}$ に対して $\sum_{k=1}^n |f_k(z)| \geq \delta > 0$ ならば、すべての $z \in \mathbb{D}$ に対して $\sum_{k=1}^n g_k(z)f_k(z) = 1$ を満たす $g_k \in H^\infty_B$ が存在する。
• ベズー方程式の解 $g_k$ に対して一様な推定が得られる：$\|g_k\|_\infty \leq C(\delta)$ であり、$C(\delta)$ は $n$ に依存せず、$\delta$ のみに依存する。
• $H^\infty_B$ のベッサ安定次数が 1 であることは、複数の方法で証明され、トレイルによる $H^\infty$ の安定次数に関する結果への還元を含む。
• $B$ の零点列の極限集合が正の測度の集合に集積しない限り、$A(\mathbb{D})_B$ の最大理想空間は、$B$ の零点列の極限点が同一視された $\overline{\mathbb{D}}$ と同相である。
• $A(\mathbb{D})_B$ のベッサ安定次数も 1 である。これは、極限集合上で 1 で、それ以外では 1 より小さい関数 $p$ を用いて、ユニモジュラー対をディスク代数に還元することで示される。
• 代数的結果として、$\mathcal{A}$ がベッサ安定次数 $n$ を持てば、任意の真のイデアル $\mathbb{I}$ に対して $\mathbb{C} + \mathbb{I}$ もベッサ安定次数 $n$ を持つことを証明し、$\mathcal{A} = H^\infty$ および $\mathbb{I} = BH^\infty$ に適用する。