[論文レビュー] The correlation function in two dimensional Ising model on the finite size lattice. I

A. I. Bugrij|ArXiv.org|Nov 13, 2000

Theoretical and Computational Physics参考文献 10被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、周期的境界条件を満たす有限サイズ正方格子上の2次元イジング模型におけるスピンスピン相関関数について、有限系に適応されたテープリッツ行列式法を用いて、形態因子に類似した表現を導出する。主な結果は、無限大格子における形態因子展開の有限サイズ一般化であり、離散的運動量和および熱力学的極限で消える格子固有の要因を含むもので、強磁性相および常磁性相の両方の明示的表現が得られる。

ABSTRACT

The correlation function of two dimensional Ising model with the nearest neighbours interaction on the finite size lattice with the periodical boundary conditions is derived. The expressions similar to the form factor representation are obtained both for the ferromagnetic and paramagnetic regions of coupling constant. The peculiarities caused by the finite size of the system are discussed. The asymptotic behaviour of the corresponding quantities as functions of size is calculated. Some generalization of the obtained result is conjectured.

研究の動機と目的

• 周期的境界条件を満たす有限サイズ格子上の2次元イジング模型におけるスピンスピン相関関数の正確な表現を導出すること。
• 無限大格子における形態因子表現を有限系に一般化し、離散的運動量スペクトルおよび有限サイズ効果を考慮すること。
• 正確に解ける格子模型を用いて、有限体積量子系における中間状態の構造およびスペクトル的性質を明確にすること。
• 可積分模型における有限温度・有限体積量子場理論計算のベンチマークを提供すること。

提案手法

• 有限格子に適応された古典的テープリッツ行列式法を用い、母関数および閉路積分を用いて相関関数を評価する。
• 連続的積分を置き換える離散的運動量（格子形態因子）に関する和の形で相関関数を導出する。
• テープリッツ行列式の因数分解表現を用いて、相関関数を格子形態因子の積の形で表現する。
• 離散的運動量に依存し、双曲線関数および三角関数を含む、明示的な格子形態因子 $ F_n[q] $ の構成。
• 異なる和の規則（偶数 $ n $ と奇数 $ n $）およびカーネル構造を用いて、強磁性相と常磁性相を別々に取り扱う。
• 有限サイズ補正を $ \tilde{\theta}_i $, $ \tilde{\theta}_i $, および $ \tilde{\theta}_i $ を通じて組み込み、$ N \to \infty $ の極限で消える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元イジング模型の相関関数における無限大格子形態因子表現を、周期的境界条件を満たす有限サイズ系にどのように一般化できるか。
• RQ2 有限サイズ相関関数の正確な数学的構造は何か。また、熱力学的極限とはどのように異なるか。
• RQ3 イジング模型の本質的フェルミオン的性質にもかかわらず、なぜ格子形態因子はボソン的運動量スペクトルを示すのか。
• RQ4 離散的運動量量子化および境界条件といった有限サイズ効果が、相関関数のスペクトル分解にどのように影響するか。
• RQ5 有限サイズ形態因子表現を用いて、有限体積量子場理論における粒子質量や結合定数といった物理的量を抽出できるか。

主な発見

• 有限サイズ $ M \times N $ 格子上での相関関数は、$ \langle\sigma(\mathbf{r}_1)\sigma(\mathbf{r}_2)\rangle = \xi\xi_T e^{-r/\Lambda} \sum_n g_n(r) $ と表され、$ g_n(r) $ は運動量に関する離散的和を含む。
• 格子形態因子 $ F_n[q] $ は $ \prod_{i<j} \frac{\sin((q_i - q_j)/2)}{\sinh((\gamma_i + \gamma_j)/2)} $ で与えられ、他のパラメータとは異なり格子の周囲長 $ N $ に依存しない。
• 有限サイズ補正は $ \xi_T $, $ \Lambda $, および $ \eta_i $ に符号化されており、いずれも熱力学的極限 $ N \to \infty $ で消える。
• 形態因子展開は、連続的積分を $ N $-周期的運動量に関する離散的和に置き換えるものであり、コンact空間次元を反映している。
• 常磁性相では奇数 $ n $ の和が必要であり、強磁性相では偶数 $ n $ の和が用いられ、無限大サイズにおける形態因子構造と整合的である。
• 導出により、無限大格子の場合と同様に有限サイズ形態因子表現が存在することを確認し、$ n $ 粒子中間状態の明示的表現が得られた。